\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Uge 13, Store Dag: Stokes’ sætning og potentialer

I dag skal vi arbejde med en sætning, som på mange måder kan sammenlignes med - og er lige så fantastisk som - Gauss’s sætning. Det handler om det tangentielle kurveintegral af et vektorfelt langs en lukket kurve, også kaldet cirkulationen af vektorfeltet langs den lukkede kurve. Stokes’ rotationssætning giver en forbindelse mellem denne cirkulation og fluxen af vektorfeltets rotation gennem en vilkårlig flade, der har den lukkede kurve som randkurve.

En almindelig kontinuert, reel funktion af en variabel har en stamfunktion, dvs. en funktion som differentieret giver funktionen selv. I forbindelse med tangentielt kurveintegral, så vi at nogle vektorfelter kunne udtrykkes som gradienten af en funktion, et såkaldt skalarpotential. Problemet idag er givet et vektorfelt, vil vi forsøge at finde de stamvektorfelter (vektorpotentialer), hvorom der gælder at hvis vi tager rotationen af stamvektorfeltet giver det vektorfeltet selv.

Dagens nøglebegreber
Cirkulationen af et vektorfelt langs en lukket kurve. Fluxen af et vektorfelts rotation gennem en åben flade. Højrekonventionen og højreskrue. Et vektorfelts vridning af en flade. Stamvektorfelt (eller vektorpotential) til et divergensfrit vektorfelt.

Forberedelse og pensum
Til i dag hører emner fra eNote 29. %Start se introvideo om Gauss og Stokes.

MapleDemoer
Til dagens emne hører der MapleDemoerne Stokes’ sætning basic og Stokes’ sætning advanced.

SymPyDemo
Til dagens emne hører der SymPyDemoen Stokes’ sætning.

Aktivitetsprogrammet

  • 10.00 – 12.00: $\,$ Se forelæsningen på video: Skema A, del 1 og del 2 eller Skema B, del 1 og del 2
  • 12.30 – 17.00: $\,$ Gruppeøvelser i klasselokalet
  • 13.00 – 16.00: $\,$ Din klasselærer er til stede i klasselokalet

Opgaver til gruppeøvelserne:

  1. Højrekonventionen og Stokes
  2. Stokes og højrekonventionen
  3. Flader med given kurve som randkurve
  4. Verificering af Stokes’ gennem eksempel
  5. Stokes’ sætning!
  6. Stamvektorfelt for divergensfrit vektorfelt
  7. Stamvektorfelt og Stokes’ sætning
  8. Stamvektorfelt (advanced)

$ $