Stokes sætning handler om en flade og dens randkurve. Sætningen forudsætter at såvel fladen som dens randkurve er tildelt en orientering, og at forholdet mellem de to orienteringer opfylder hvad man populært kalder højrekonventionen: Retningen af enheds-normalvektoren skal danne højreskrue med randkurvens omløbsretning. Eller sagt på en anden måde: Når man fra endepunktet af enhedsnormalvektoren til fladen betragter randkurven, gennemløbes randkurven mod uret.
Lad os for eksempel betragte Jordens nordlige halvkugle. Hvis retningen af enhedsnormalvektorfeltet er valgt således at enhedsnormalvektorerne peger væk fra centrum, kræver højrekonventionen at ækvator gennemløbes mod øst.
I eNote 29 er højrekonventionen på en formelt mere korrekt måde formuleret således: Når Stokes sætning benyttes ‘‘skal orienteringen (givet ved retningen af enhedstangent-vektorfeltet $\,\me_{\partial F}\,$) af randen vælges således at krydsproduktet $\,\me_{\partial F}\times \mn_F\,$ peger væk fra fladen langs med randen’’.
Den følgende opgave løses ved håndregning.
Betragt i rummet cirkelskiven $\,F\,$ givet ved $\,x^2+y^2\leq 4\,$ og $\,z=0\,.$
A
Vælg en parameterfremstilling for $\,F\,$ og en parameterfremstilling for randkurven $\,\partial F\,$, således at de hertil hørende orienteringer af $\,F\,$ og $\,\partial F\,$ opfylder højrekonventionen.
B
Lad $\mN$ betegne den af parameterfremstillingen for $\,F\,$ genererede normalvektor for $\,F\,$, og lad $\mT$ betegne den af parameterfremstillingen for $\,\partial F\,$ genererede tangentvektor for $\,\partial F\,$. Vis at krydsproduktet $\,\mT \times \mN\,$ peger væk fra fladen langs med randen.
Givet vektorfeltet $\,\mV(x,y,z)=(x^2-y,-yz,xz)\,$.
C
Bestem ved hjælp af Stokes’ sætning cirkulationen af $\,\mV\,$ langs med $\,\partial F\,$.
hint
Bestem rotationen af $\,\mV\,$, og benyt sætningen om flux (det ortogonale fladeintegral) fra eNote 25.
answer
Resultatet er $4\pi\,$ hvis cirklen (randkurven) gennemløbes positivt set fra $z$-aksens positive ende (hvorved cirkelskivens normalvektor skal pege opad).
D
En studerende har fået valgt sine parameterfremstillinger for $\,F\,$ og $\,\partial F\,$, således at højrekonventionen ikke er opfyldt. Men har i øvrigt gennemført opgaven med korrekte udregninger. Hvilket facit er den studerende nået frem til?
answer
Læreren der retter, kan blot sætte et minustegn foran den studerendes svar, så er det rigtigt. Den studerendes svar er derfor ikke helt tosset, men på den anden side aldeles forkert.
Opg 2: Stokes og højrekonventionen
I rummet er der givet en trekantet flade $\,T\,$ med hjørnerne $\,A(0,0,1)\,,$$\,B(1,0,0)\,$ og $\,C(0,1,0)\,$ samt et vektorfelt $\,\mV(x,y,z)=(z,x,y)\,.$
A
Bestem en parameterfremstilling $\,\mr\,$ for $\,T\,$, og plot trekanten med Maple/SymPy.
hint
Du kan fx starte med en parameterfremstilling for linjestykket $\,BC\,$. Byg nu paramterfremstillingen for trekanten op ved at parametrisere linjestykket $\,AP\,$, hvor $\,P\,$ er et vilkårligt punkt på $\,BC\,$.
Vælg en omløbsretning for randkurven $\,\partial T\,$, og angiv den på en figur. Opfylder den højrekonventionen med hensyn til $\,\mr\,$?
hint
For den i ovenstående facit angivne parameterfremstilling (og den normalvektor $\,\mN\,$ der genereres af parameterfremstillingen) passer omløbsretningen ACBA med højrekonventionen.
C
Bestem ved hjælp af Stokes’ sætning cirkulationen af $\,\mV\,$ langs med $\,\partial T\,.$
hint
Bestem rotationen af $\,\mV\,$, og benyt sætningen om flux (det ortogonale fladeintegral) fra eNote 28.
answer
Svaret er $-\frac{3}{2}\,$ hvis de i svaret ovenfor angivne parameterfremstillinger benyttes. Med modsat orientering af randkurven er facit $\frac{3}{2}\,.$
Opgaven går ud på at bestemme cirkulationen af vektorfeltet langs kurven ved hjælp af Stokes’ sætning, idet du selv vælger en omløbsretning.
A
Lav en skitse af $\,\mathcal K\,$, og markér den valgte orientering.
answer
Well, der er to muligheder for omløbsretning. Her vælger vi den mod uret, når cirklen $\,\mathcal K\,$ betragtes fra $\,z\,$-aksens positive ende.
B
Vælg to forskellige flader $\,\mF_1\,$ og $\,\mF_2\,$ som har $\,\mathcal K\,$ som randkurve. Angiv for hver af fladerne en parameterfremstilling som opfylder højrekonventionen med hensyn til den valgte omløbsretning af $\,\mathcal K\,$.
answer
Der er uendeligt mange muligheder. Her vælger vi som $\mF_1$ den enhedscirkelskive, som har centrum i $(0,0,1)$ og som er parallel med $\,(x,y)\,$-planen. Som $\,\mF_2\,$ vælger vi en nedadvendt omdrejningsparabloid med $z$-aksen som symmetriakse.
Bestem cirkulationen af $\,\mV\,$ langs $\,\mathcal K\,$ ved hjælp af Stokes’ sætning, idet du afprøver både $\,\mF_1\,$ og $\,\mF_2\,,$ som flader med $\,\mathcal K\,$ som randkurve.
Hvorfor er det i denne opgave fordelagtigt at benytte Stokes’ sætning, fremfor at finde cirkulationen ved hjælp af sædvanlig beregning at et tangentielt kurveintegral?
Opg 4: Verificering af Stokes’ gennem eksempel
En omdrejningscylinder er givet ved ligningen $\,(x-1)^2+y^2=1\,,$ en plan er givet ved ligningen $\,z=2-x\,$, og endelig er et vektorfelt givet ved $\,\mV(x,y,z)=(y,z,x)\,.$
A
Bestem en parameterfremstilling for den lukkede skæringskurve $\,\mathcal K\,$ mellem cylinder og plan.
hint
Første- og andenkoordinaten til parameterfremstillingen får du fra den cirkel som $\,x\,$ og $\,y\,$ beskriver i $\,(x,y)$-planen. Bestem herefter tredje-koordinaten.
Bestem nu en parameterfremstilling for den flade $\,\mathcal F\,$ i den givne plan $\,z=2-x\,$, som udfylder skæringskurven (dvs. har den som randkurve), og bestem igen cirkulation af $\,\mV\,$ langs skæringskurven, denne gang vha. Stokes sætning.
Gør rede for at $\,\mF\,$ er en halvkugle og skitsér dens randkurve $\,\partial F\,$ med markering af en valgt omløbsretning for $\,\partial F\,$.
B
Bestem fluxen af rotationen af $\,\mV\,$ gennem $\,F\,$.
answer
Den søgte flux er lig cirkulation $\,\mV\,$ langs $\,\partial F$ - som er $a^2\pi\,.$
Opg 6: Stamvektorfelt for divergensfrit vektorfelt
Introduktion:
Hvis der i $\,\reel^3\,$ er givet et glat vektorfelt $\,\mV(x,y,z)\,$ som er divergensfrit, dvs. $\,\mathrm{Div}(\mV)(x,y,z)=0\,$ i hele $\,\reel^3\,,$ så har $\,\mV\,$ et stamvektorfelt (også kaldet vektorpotential) $\,\mW\,$ hvorom der gælder
$$\,\mathbf{Rot}(\mW)(x,y,z)=\mV(x,y,z)\,.$$
For ethvert glat vektorfelt $\,\mV\,$ indfører vi stjernevektorfeltet$\,\mW^*(x,y,z)\,$ ved formlen
Formlen skal læses sådan at der først udregnes tre integraler, derefter et krydsprodukt. Der gælder følgende sætning: $\,\mV\,$ er divergensfrit hvis og kun hvis rotationen af $\,\mW^*\,$ er lig med $\,\mV\,.$
Beskriv og skitsér $\mathcal F$ og dens randkurve $\partial \mathcal F\,$.
answer
$\mathcal F$ er den øverste halvdel af enhedskuglen med centrum i $(0,0,1)\,$ og randkurven er den vandrette enhedscirkel som har centrum i $(0,0,1)\,.$
B
Bestem ved hjælp af Stokes’s sætning fluxen af $\mU$ gennem $\mathcal F\,$, idet $\mathcal F\,$ tænkes orienteret med enhedsnormvektorfelt pegende væk fra Origo.
hint
Brug det stamvektorfelt til $\mU$ du fandt i forrige opgave.
og firkant-kurven $\,\mathcal K\,$ som forbinder punkterne $\,(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0)\,$ og $\,(0,1,0)\,$, og hvis orientering er fastlagt ved denne punkt-rækkefølge.
A
Vis at $\,\mW(x,y,z)=\big(\,\sin(xz),\sin(xy),\sin(yz)\,\big)\,$ er et stamvektorfelt for $\mV$.
hint
Er $\,\mathbf{Rot}(\mW)=\mV\,$?
B
Bestem fluxen af $\,\mV\,$ gennem en vilkårlig flade som har $\,\mathcal K\,$ som randkurve, idet du udregner den som en cirkulation af $\,\mW\,$ langs $\,\partial K\,$.
answer
Den nævnte cirkulation og dermed den ønskede flux er $\,1-\cos(1)\,$.
C
Gør rede for at resultatet i forrige spørgsmål også kan findes ved almindelig fluxudregning. Og genfind resultatet på denne måde.
hint
Da $\mV$ har et stamvektorfelt, vil fluxene gennem forskellige flader der har $\mathcal K$ som randkurve, være identiske.
