\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Uge 8, Store Dag: Flux og Gauss’ divergenssætning

Givet et vektorfelt i rummet og en flade. Hvor stærk er strømmen af vektorfeltet gennem fladen? Dette spørgsmål kendes fra utallige ingeniørmæssige problemstillinger, hvoraf fluid-mekanik og elektromagnetisme blot er nogle af de mest kendte. Svaret afhænger selvsagt både af fladens form og dens placering i vektorfeltet. For lukkede flader, dvs. flader der kan betragtes som overfladen af et rumligt område, gælder Gauss’ forunderlige divergenssætning som giver en forbindelse mellem divergensintegralet over et rumligt område og fluxen gennem det rumlige områdes overflade. Nyd sætningen, højere når vi næppe op!

Dagens nøglebegreber
Et vektorfelts flux gennem en flade, også kaldet det ortogonale fladeintegral. Volumenekspansion ved fladeflow og volumenekspansionsrate. Divergensintegral. Divergens forstået som lokal volumenekspansionsrate.

Forberedelse og pensum
Til i dag hører emner fra eNote 28 om Flux og Gauss. Start med at se denne videointro1. Når du er kommet lidt i gang med emnet så se introvideo2 om to dovne matematikere der hed Gauss og Stokes.

Maple-guf
Til dagens emne hører der MapleDemoerne Gauss’ sætning basic og Gauss’ sætning advanced.

Aktivitetsprogrammet

  • 10.00 – 12.00: $\,$ Skema A og B: Forelæsning (live stream)
  • 10:00 – 12:00: $\,$ Skema C: Forelæsning på engelsk live, eller video fra Skema A eller Skema B
  • 12.30 – 17.00: $\,$ Gruppeøvelser i klasselokalerne
  • 13.00 – 16.00: $\,$ Din klasselærer er til stede i klasselokalet
  • 15.30 – 16.00: $\,$ Få vink af din klasselærer til hjemmeopgavesæt 6.

Forårets projektarbejde
Deadline for tilmelding er i dag kl. 17:00, se Projektarbejdet F22

Opgaver til gruppeøvelserne:

  1. Flux gennem parameterflader. Håndregning
  2. Volumenekspansionsrate og flux. Maple
  3. Optimering af flux. Maple
  4. Flux vha Gauss’ sætning. Håndregning
  5. Verificering af Gauss’ sætning
  6. Coulomb-vektorfeltet

$ $