\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Uge 4: Store Dag: Riemannintegralet og dets brug på kurver

I dag starter vi på det sidste store hovedemne i Matematik 1 pensum: Integration i flere variable, som strækker sig over resten af foråret. Vi starter ud med symbolet $\,\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\,$ som du allerede kender fra gymnasiet. Men vi skal præcisere hvad symbolet egentlig står for, en grænseværdi for en sum! Vi har normalt to måder at udregne denne grænseværdi på, enten ved konkret at foretage grænseovergangen eller ved at benytte en stamfunktion for $f$. Alt dette lader sig generalisere til funktioner af to og tre variable! Vi skal også se hvordan vi finder integralet langs en krum kurve. Her skal vi se på parametriseringer og noget der hedder Jacobi-funktioner. Det viser sig at tangentvektoren spiller en vigtig rolle i denne forbindelse.

Dagens nøglebegreber
Grænseværdi af summer. Riemannintegralet. Dobbeltsummer og dobbeltintegraler. Tredobbeltsummer og tredobbeltintegraler. Parameterkurver og Parametrisering af kurver. Tangentvektor og tangenter for parameterkurver. Jacobi-funktionen for en parameterkurve. Kurveintegraler i planen og rummet.

Forberedelse og pensum
Til i dag hører emner fra eNote 23 om Riemannintegralet for funktioner af én og to variable. Vi bladrer også i eNote 24 for at finde noget om parametriserede kurver.

Maple-pensum
int: Finder stamfuntion eller bestemt integral
Til dagens emne hører der tre Maplefiler:
MapleDemoen Kurveintegraler basic.
MapleDemoen Kurveintegraler advanced med intro til Integrator8.
Programfilen til Integrator8 og [Integrator8-eksempelsamling]%(uploads/MapleDemoF/INTEGRATOR8.zip).

SymPy-pensum
integrate: Finder stamfuntion eller bestemt integral
SymPyDemoen Kurveintegraler basic.

Aktivitetsprogrammet

  • 10.00 – 12.00: $\,$ Se forelæsningen på video: Skema A, video eller Skema B, del 1 og del 2
  • 12.30 – 17.00: $\,$ Gruppeøvelser i klasselokalet
  • 13.00 – 16.00: $\,$ Din klasselærer er til stede i klasselokalet

Opgaver til gruppeøvelserne:

  1. Syv stamfunktioner du skal kende udenad
  2. Syv stamfunktioner du bør beherske
  3. Regneregler for stamfunktioner
  4. Brug af fundamentalsætningen. Håndregning
  5. En parameterkurves tangentvektor og længde
  6. Parametrisering og kurveintegral. Håndregning
  7. Talfølger
  8. Integral som grænseværdi for venstresum
  9. Buelængde vha. midtpunktsum

Tip: Hvis du ønsker en printbar version af opgaverne uden vink og facit, går du direkte til din browsers print-funktion når du er inde på opgaverne.