For hvilke af de følgende funktioner kan du straks angive en stamfunktion?
$x^n\,,\,\,n\in \mathbb N\,.$
$\frac{1}{x}\,.$
$\ln(x)\,.$
$\frac{1}{1+x^2}\,.$
$\cos(x)\,.$
$\sin(x)\,.$
$\exp(x)\,.$
Hvor du måtte melde pas: Find en stamfunktion med Maple/SymPy’s int/integrate og indskriv venligst resultatet i din langtidshukommelse.
Opg 2: Syv stamfunktioner du bør beherske
Angiv en stamfunktion til hver af de følgende funktioner:
$x^n\,$ hvor $n$ er en vilkårlig konstant i $\mathbb Z\,.$
$x^k\,$ hvor $k$ er en vilkårlig konstant i $\mathbb Q\,.$
$\frac{1}{a\cdot x+b}\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\reel\,,$ og $x$ i passende interval.
$\cos(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\reel\,.$
$\sin(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\reel\,.$
$\exp(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb R\,.$
$\exp(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb C\,.$
answer
Punkt 1:
Antag $n>0:$ Som i punkt 1 i forrige opgave.
Antag $n=0:$ Så drejer det sig om at finde en stamfunktion til 1.
Antag $n=-1:$ Idet $x^{-1}=\frac 1x,$ er det som i punkt 2 i forrige opgave.
Antag $n=<-1:$ Eksempel: $\int u^{-3} \mathrm du=\frac{1}{-3+1}u^{-3+1}=-\frac{1}{2}u^{-2}\,$ som viser at $-\frac{1}{2u^2}$ er en stamfunktion til $\frac{1}{u^3}\,.$
Punkt 2:
Antag at $k\neq -1:\,$$\,\int x^{\frac pq}\mathrm dx=\frac{1}{\frac pq+1}x^{\frac pq+1}\,.$
Punkt 3: $\,\frac 1a \,\ln(a\cdot x+b)\,.$
Punkt 4: $\,\frac 1a \,\sin(a\cdot x+b)\,.$
På samme måde med punkt 5, 6 og 7.
Angiv centrum og radius for C. Vælg en parameterfremstilling $\,\mathbf r(u)\,$ for C svarende til ét gennemløb af cirklen. Bestem den til parameterfremstillingen svarende Jacobi-funktion.
answer
Centrum i $(0,1,1)\,.$
For eksempel $\mathbf r(u)=(2\cos(u),2\sin(u)+1,1)\,.$
Jacobi$(u)=|\mathbf r’(u)|=2\,.$
B
Givet funktionen $\,f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\,.$ Bestem restriktionen $\,f(\mathbf r(u))\,,$ og bestem kurveintegralet
Er kurveintegralet afhængigt af den parameterfremstilling du valgte for cirklen? Afprøv andre parameterfremstillinger og udregn kurveintegralet baseret på dem. Du kan f.eks. ændre omløbsretningen eller gennemløbshastigheden.
D
Er kurveintegralet afhængigt af cirklens beliggenhed? Prøv f.eks. at parallelforskyde cirklen 1 i $y$-aksens retning, og udregn kurveintegralet på ny.
Opg 7: Talfølger
Intro: I denne og den følgende opgave gives der smagsprøver på en vigtig byggesten for integralregning: Talfølger og deres eventuelle konvergens. Fra Den Store Danske (Gyldendal):
``konvergens, begreb af fundamental betydning i matematisk analyse, specielt i teorien for uendelige rækker. En følge af reelle tal $x_1,x_2,\ldots$ kaldes konvergent, hvis der findes et tal $x$, så tallet $x_n$ er vilkårligt tæt på $x$, blot $n$ er tilstrækkelig stor $(\ldots)$. Tallet $x$ kaldes grænseværdien for følgen, som siges at konvergere mod $x\,.$ Hvis følgen ikke er konvergent, kaldes den divergent.’’
A
Fire talfølger $\,\lbrace a_n\rbrace\,,$$\,\lbrace b_n\rbrace\,,$$\,\lbrace c_n\rbrace\,$ og $\,\lbrace d_n\rbrace\,$ er for $n\in \mathbb N$ givet ved
Afgør hvilke af de fire talfølger der er konvergente, og angiv (uden udregninger) grænseværdien for dem som er konvergente.
answer
$\,\lbrace a_n\rbrace\,$ er konvergent med grænseværdien 0.
$\,\lbrace b_n\rbrace\,$ er konvergent med grænseværdien $\frac 12\,.$$\,\lbrace c_n\rbrace\,$ er divergent.
$\,\lbrace a_n\rbrace\,$ er konvergent med grænseværdien $-\frac 43\,.$
Opg 8: Integraler via venstresummer
A
Opstil en venstresum $\,V_n\,$ for funktionen
$$\,f(x)=x\,,\,\,x\in \left[\,0\,,\,1\,\right]$$
svarende til en opdeling af intervallet [$0\,,\,1$] i $\,n\,$ lige store stykker. Bestem ved hjælp heraf
$$\,\displaystyle{\int_0^1 x\,\mathrm{d}x}\,.$$
hint
Venstresummen får du som summen af en række arealer af rektangler under grafen for $f\,.$ Forskellen på arealet af to på hinanden følgende rektangler er konstant, rektangelarealerne udgør derfor en differensrække. Summen af $n$ på hinanden følgende led i en differensrække er givet ved formlen:
$$ S=\frac n2(a_1+a_n)\,.$$
hint
Rektanglerne har arealerne $\displaystyle{0\,\,,\,\,\frac{1}{n^2}\,\,,\,\,\frac{2}{n^2}\,\,,\,\,\frac{3}{n^2}\,\ldots\,\frac{n-1}{n^2}}\,.$
I eNote 23 er der overalt benyttet venstresummer, idet de indgående funktionsværdier er taget i intervallernes venstre endepunkt. Men det er også muligt at benytte intervallernes midtpunkter, når man opstiller summen, hvorved man opnår en såkaldt midtpunktssum. Dette udnytter vi i denne opgave hvor vi skal beregne længden af parabelbuestykket
Antag at intervallet $\left[\,0;1\,\right]$ er inddelt i $n$ lige store stykker af længden $\delta u$, og lad delepunkterne være benævnt $u_i$ som i eNote 23. Forbind de parabelpunkter som ligger lodret over delepunkterne med rette linjestykker: parabelkorder. Så vil summen af korderne være en god tilnærmelse til buelængden. Vis at summen af kordestykkerne kan udtrykkes ved
