\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Uge 4, Store Dag: Taylors formler

Du har i gymnasiet arbejdet med approksimerende polynomier af første grad (hvis graf er tangenten i udviklingspunktet), men i dag indfører vi approksimerende polynomier af højere grad. Hovedpointen er at det er muligt at approksimere differentiable funktioner med polynomier, som derfor kaldes approksimerende polynomier eller Taylor-polynomier. Jo højere graden for polynomiet er, desto bedre vil approksimationen normalt være. Det ser man bedst ved hjælp af grafer, derfor indfører vi i dag programmerne Maple2022 og SymPy som vil være vores følgesvende resten af kurset. Bachelorretningerne “Kunstig intelligens og data” og “Matematik og teknologi” bruger SymPy og de øvrige studieretninger bruger Maple.

Dagens nøglebegreber
Udviklingspunkt. Taylors formel og restfunktionen. Approksimerende polynomier af grad $n$ og deres grafer. Vurdering af restfunktioner. Taylors grænseformel.

Forberedelse og pensum
Til i dag hører eNote 4: Taylors approksimationsformler. Start med at se videointroduktion til approximerende polynomier

Maple Pensum
taylor: Udregning af Taylors grænseformel. mtaylor: Udregning af approksimerende polynomier. limit: Udregning af en grænseværdi.

Til dagens emne hører der to MapleDemoer: KomplekseTal og Taylor.

SymPy Pensum
series: Udregning af approksimerende polynomier og Taylors grænseformel. limit: Udregning af en grænseværdi.

Til dagens emne hører SymPyDemoen: KomplekseTalOgTaylor.

Aktivitetsprogrammet

  • 10.00 – 12.00: $\,$ Se forelæsningen på video: Skema A, del 1 og del 2, eller Skema B, del 1 og del 2.
  • 12.30 – 17.00: $\,$ Gruppeøvelser i klasselokalet (bygn. 358/ rum 042)
  • 13.00 – 16.00: $\,$ Din klasselærer er til stede i klasselokalet

Opgaver til gruppeøvelserne:

  1. Approksimerende polynomier. Håndregning
  2. Introduktion til Maple
  3. Introduktion til Sympy
  4. Illustrationer af taylor-approksimation
  5. Undersøgelse af approksimerende polynomier. Enjoy!
  6. Vurdering af fejl ved approksimation
  7. Introduktion til komplekse tal med Maple
  8. Approksimation af kompleks funktion af reel variabel
  9. Taylors grænseformel (Håndregning)

Tip: Hvis du ønsker en printbar version af opgaverne uden vink og facit, går du direkte til din browsers print-funktion når du er inde på opgaverne.

Hjemmeopgave 1
Skal afleveres på din klasses Learnside under Course Content/Assigment/HjemOpg1. Kontroller allerede nu at du kan finde afleveringsstedet, da afleveringsfristen ikke kan udsættes uanset grund. Husk: Aflevering SKAL være i pdf.

Temaøvelse 1
På Lille Dag i denne uge: Alle studieretninger på nær Kemi-Teknologi deltager i Temaøvelser i Matematik 1. Temaøvelsen uploades ved afslutningen af Store Dag på Learn/Skema A, B eller C. Besvarelsen sker via spørgsmål i Möbius på Lille Dag, og resultatet indgår i den samlede vurdering af hjemmeopgavesæt 1. Sørg for at du er med i en gruppe på 4 til 6 studerende så I straks kan starte samarbejdet om temaøvelsen.