\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Approksimerende polynomier. Håndregning

A

Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt $x_0=0\,.$

1.$ $ $f(x)=\e^x\,,\,\,x\in \Bbb R\,$

2.$ $ $f(x)=\cos (x)\,,\,\,x\in \Bbb R\,$

3.$ $ $f(x)=\e^{\sin( x)}\,,\,\,x\in \Bbb R\,$

B

Funktionen

$$\,\displaystyle{f(x)=\frac 1 x\,,\,\,x>0}\,$$

kan naturligvis ikke taylor-udvikles fra udviklingspunktet $x_0=0\,.$ Så du bedes i stedet bestemme det approksimerende polynomium af første og anden grad for $\,f\,$ med udviklingspunktet $x_0=1\,.$

Opg 2a: Introduktion til Maple for alle studieretninger pånær Mat-tek og kunstig intelligens

Matematikprogrammet Maple er ét blandt flere matematikprogrammer som bruges i undervisningen og til forskning på DTU . Her er en kort introduktion til de vigtigste aspekter. Det er vigtigt, at du bruger noget tid til at sætte dig ind i Maple, fordi du skal bruge det rigtig meget i Matematik 1.

Hvor får jeg fat på Maple Du henter Maple til din egen computer her. Log ind med din DTU-bruger, find Maple2022 , og vælg den installationsfil, som passer til dit styresystem. Noter installationsnøglen (Activation key Stand alone), den skal du bruge, når du installerer programmet.

Opsætning af Maple Når du skal i gang med Maple, er der to options du skal tage stilling til: 1) Ønsker jeg at arbejde i worksheet-mode eller i document-mode, og 2) Ønsker jeg at skrive kommandolinjer med MapleNotation eller 2D-Math Notation. I undervisningen på DTU benyttes kombinationen worksheet-mode og MapleNotation. Hvis du indtiller din Maple til denne kombination, der fx benyttes i kursets MapleDemo’er, skal du følge denne opskrift:

Første gang du starter Maple

  • Gå til Tools $\rightarrow$ Options $\rightarrow$ Interface $\rightarrow$ Default format for new worksheets og vælg Worksheet. Afslut med Apply Globally.
  • Gå til Tools $\rightarrow$ Options $\rightarrow$ Display $\rightarrow$ Input display og vælg Maple Notation. Afslut med Apply Globally.
  • Start Maple på ny – nu er vi klar!
  • NB: På Mac skal man først taste “command” og , (komma) så kommer man ind i indstillingerne. $ $

Ugens Test bruger MapleNotation Ved indstastning af svar i Ugens Test skal du bruge MapleNotation. Kendskab til Maplenotation en vigtig del af kursets Maple-pensum! Blandt de gymnasier som er begyndt at bruge Maple, er der mange der anbefaler 2D-Math Notation i stedet for Maplenotation. En af fordelene er, at man så bedre kan benytte sig af paletter og højrekliks-menuer. På DTU anses den rå tekstkode, dvs. Maple Notation, for at være mere videnskabelig, idet dokumentationen for hvad der foregår, er mere klar. I er naturligvis velkomne til selv at eksperimentere med jeres Maple-opsætning.

Pixi tutorial i Maple Start Maple. Maple fungerer efter princippet med spørgsmål (input) og svar (output): Du stiller spørgsmål på en kommandolinje (til højre for det røde > tegn) som input til Maple, og Maple svarer med et output, centreret og i blå således, at svar tydeligt kan kendes fra spørgsmål. Hvis du vil have Maple til at acceptere et input, men uden at vise svaret, skal du skrive kolon efter kommandoen.

Som det allerførste input i ethvert Maple-ark bør du skrive > restart; Maple udfører kommandoen, når du trykker Enter. Denne kommando vil nulstille hukommelsen i arket, og da det er tit, du udfører alle kommandoerne i arket efter hinanden flere gange, er det nødvendigt at nulstille i toppen. Læg mærke til, at der ikke kommer noget svar fra Maple uanset om du slutter kommandoen med kolon eller ej.

Prøv nu følgende regnestykke: > 2 + 2; Maple kan naturligvis fungere som lommeregner! Men programmets mere interessante egenskaber ligger i dets evne til at foretage symbolske matematiske operationer. For eksempel bliver $\sin x$ differentieret med hensyn til $x$ med kommandoen > diff(sin(x) , x); Prøv det. I dette tilfælde bruger man kommandoen diff. Til kommandoen hører to argumenter: sin(x) og x, som er adskilt med komma.

Maple kan også plotte funktioner. Den simpleste plot-kommandoen er plot. Kommandoen har minimum to argumenter: Det, der skal plottes, og grænserne af den uafhængige variable. Hvis man eksempelvis ønsker at se funktionen $\sin x$ i intervallet mellem 0 og 5, benyttes kommandoen > plot(sin(x), x=0..5); Intervaller angives altid med to punktummer efter hinanden. For at få samme enheder på akserne skrives desuden scaling=constrained som tredje argument, altså: > plot(sin(x), x=0..5, scaling=constrained); Kan du se forskellen? Der er et hav af valgfri argumenter og kombinationsmuligheder til plot-kommandoen. Til at finde den, som passer bedst til dine behov, kan du enten bruge Maples hjælpefunktion i menulinjen, eller også kan du skrive > ? plot; At skrive et spørgsmålstegn foran virker med alle kommandoer. Her er endnu et eksempel på et plot, nu med flere funktioner og flere argumenter. Prøv at gætte hvad de gør eller slå op i Maple’s hjælpefunktion under plot-kommandoen. > plot([sin(x),x^2],x=0..5,y=-2..2,color=[red,blue],scaling=constrained); Du kan lave potenser ved at trykke på $ \wedge $ tasten.

I øvrigt: Brug Maple’s hjælpefunktion. Den er kanon!

Opg 2b: Introduktion til SymPy for Mat-tek og kunstig intelligens

Matematikprogrammet SymPy er ét blandt flere matematikprogrammer som bruges i undervisningen og til forskning på DTU . Her er en kort introduktion til de vigtigste aspekter. Det er vigtigt, at du bruger noget tid til at sætte dig ind i SymPy, fordi du skal bruge det rigtig meget i Matematik 1.

Hvor får jeg fat på SymPy Du finder en fuld installationsvejledning her (De fleste af jer har allerede programmet installeret): InstallationsVejledning

Når du har installeret programmet korrekt kan følgende Pythonfil hentes og køres: Intro-SymPy

Læs og gennemprøv filen Intro-SymPy.

Opg 3: Illustrationer af taylor-approksimation

A

Plot de tre funktioner fra Opgave 1 sammen med deres respektive approksimerende polynomier af første og anden grad.

Opg 4: Undersøgelse af Taylor–polynomier. Enjoy!

A

Brug Maple/SymPy til at finde det approksimerende polynomium af grad 9, $P_9(x)$, med udviklingspunkt $x_0=0$ for funktionen $\sin(x)$. Tegn i samme koordinatsystem $\sin( x)$ og $P_9(x)$. Hvor langt ud til siden kan man få det approksimerende polynomium til at følge funktionen? (Eksperimentér med polynomiets grad).

Opg 5: Vurdering af fejl ved approksimation

En funktion $\,f:\Bbb R\rightarrow \Bbb R\,$ er givet ved

$$f(x)=\sqrt{2x-1}.$$
A

Bestem definitionsmængden Dm$(f)\,$ for $\,f\,.$

B

Bestem det approksimerende polynomium $\,P_3(x)\,$ af grad $3$ for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=1\,.$

C

Gør rede for at den til $\,P_3(x)\,$ hørende restfunktion $\,R_3(x)\,$ kan udtrykkes ved

$$ R_3(x)=-\frac 58\cdot \frac 1{(2\xi-1)^{7/2}}\cdot (x-1)^4 $$

for et $\,\xi\,$ mellem $\,1\,$ og $\,x\,.$ Vis ved vurdering af restfunktionen at den numeriske værdi af den fejl man begår ved at benytte $\,\displaystyle{P_3\left(\frac 32\right)}\,$ i stedet for $\,\displaystyle{f\left(\frac 32\right)}\,$ er mindre end eller lig med $\,\displaystyle{\frac 5{2^7}}\,.$

Opg 6: Introduktion til komplekse tal med Maple/SymPy

Download og gennemgå Maple/SymPy-Demo’en om komplekse tal. Heri introduceres de relevante kommandoer for denne opgave. Det er i denne opgave meningen at du skal bruge Maple/SymPy til at løse følgende opgaver. Du har tidligere løst tilsvarende opgaver med papir og blyant, tænk over hvad det er Maple/SymPy giver som svar. Har du det fuldstændige svar eller skal du selv arbejde videre med Maple/SymPy output’et.

A

Hvad er $i^2$, $i^3$, $(-i)^4$ og $(-i)^{-5}\,?$

B

Bestem realdelen og imaginær værdien af

$$\frac{-2+3i}i$$

og skriv tallet på rektangulær form.

C

Givet $w=1-i\,$. 1.$ $ Bestem $|\,w\,|$ og $\arg(w)\,$. 2.$ $ Bestem $|\,\e^w\,|$ og $\arg(\e^w)\,$.

D

Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form: 1.$ $ $\e^{i\frac{\pi}{2}}$ 2.$ $ $3\e^{1+\pi i}$

E

Find løsningerne for ligningen

$$z^2+(2+2i)z-2i=0\,.$$

F

Find for enhvert $\,t\in \reel\,$ differentialkvotienterne af følgende funktioner:

$$ \begin{aligned} f_{1}(t) &= t^{2} + i \, \sin(t) \newline f_{2}(t) &= 1+it^5\newline f_{3}(t) &= t^5-i\newline f_{4}(t) &= 3\, \e^{it}\newline f_{5}(t) &= i\, \e^{2t+3it} \end{aligned} $$

Opg 7: Approksimation af kompleks funktion

Approksimerende polynomier for komplekse funktioner af en reel variabel opstilles ved samme formel som reelle funktioner af en reel variabel. I det følgende betragter vi funktionen:

$$f(x)=2\cos(x)+i\,\sin(2x)\,,\,\,x\in \Bbb R\,.$$
A

Bestem det approksimerende polynomium $\,P_3\,$ af grad højst tre for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_0=0\,.$

B

Bestem, gerne med Maple’s mtaylor eller SymPy’s series, det approksimerende polynomium $\,Q_3\,$ af grad højst tre for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,x_1=\frac{\pi}2\,.$

C

Tallet 1 ligger tættere på $\,x_1=\frac{\pi}2\,$ end på $\,x_0=0\,.$ Hvorfor er det alligevel en meget bedre idé at bruge $\,P_3\,$ end $\,Q_3\,$ hvis man skal bruge en approksimeret værdi til $\,f(1)\,?$

Opg 8: Taylors grænseformel. Håndregning

Denne opgave giver en metode til at beregne en grænseværdi af en brøk, hvori både tæller og nævner går mod nul.

A

Opskriv Taylors grænseformel for funktionen $\ln(1+x)$ med udvilklingspunkt $x_{0}=0$ for grad 1 såvel som 2 og 3.

B

Hvilket af de tre resultater i spørgsmål a) kan ikke bruges til at finde værdien af grænseværdien:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$$

C

Udregn nu ved hjælp af Taylors grænseformel følgende grænseværdi:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(\e^x+1)-2(\e^x-1)}{x^3}.$$

D

Vend nu tilbage til spørgsmål 8B. Vis at man godt kan “nøjes” med grad 1 hvis man i stedet for Taylors grænseformel benytter den Taylor-formel der svarer til den øverste version af restfunktionen i eNote4, linje (4-24).