Vis at netop én af de to afbildninger er lineær. Find hvilken ved at undersøge om de opfylder de to linearitetskrav.
hint
Læs definition 12.5 i eNote 12.
hint
Du skal jo undersøge om
1. $f((x_1, x_2)+(y_1,y_2))=f((x_1, x_2))+f((y_1,y_2))$
2. $f(k(x_1,x_2))=k\cdot f((x_1,x_2))$
answer
Det er $\,f\,$ som er lineær. At $\,g\,$ ikke er lineær, vises nemmest ved et modeksempel.
B
Angiv kernen for den fundne lineære afbildning.
hint
For at finde $\ker(f)$, skal du løse ligningssystemet $(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(0,0)\,.$
answer
$(x_1,x_2)=t(1,1)$ hvor $t \in \reel\,$. Sagt på anden måde: En basis for $\ker (f)$ er givet ved $\,(\,(1,1)\,)\,.$
C
Angiv billedrummet for den fundne lineære afbildning.
hint
Billedrummet svarer til det som i gymnasiet kendes som værdimængden for en elementær funktion, dvs. alle den lineære afbildnings mulige værdier.
hint
Vi skal altså finde ud af hvilke vektorer $\mb=(b_1,b_2)\,$ der har mulighed for at optræde som højreside i ligningen $(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(b_1,b_2)\,.$
answer
$(y_1,y_2)=t(-1,1)$ hvor $t \in \reel\,.$ Sagt på anden måde: En basis for $\,f(\reel^2)\,$ er givet ved $\,(\,(-1,1)\,)\,.$
Opg 2: Undersøgelse af lineær afbildning
Lad $f:\reel ^4\rightarrow \reel^3$ være givet ved forskriften
Vis ved hjælp af Hovedsætning 12.18 i eNote 12, punkt 2, at $f$ er lineær, og angiv afbildningsmatricen $ \matind eFe$ for $f$ med hensyn til standardbaserne i $\reel^4$ og $\reel^3$.
hint
Afbildningsmatricen $ \matind eFe$ skal tilfredsstille ligningen $ \vekind ey= \matind eFe \cdot \vekind ex$, hvor $ \vekind ey$ svarer til $f((x_1,x_2,x_3,x_4))$ og $\vekind ex$ svarer til $(x_1,x_2,x_3,x_4)$.
hint
Opstil et bud på en afbildningsmatrix ved hjælp af Definition 12.17 i eNote 12. Passer matricen med forskriften for $f\,$?
Find billedrummets dimension og angiv en basis for billedrummet.
hint
Antallet af vektorer i basis er lig med dimensionen af billedrummet, som igen hænger sammen med rangen af afbildningsmatricen.
hint
Du kan finde basisvektorerne som nogle af søjlerne i afbildningsmatricen, men hvilke og hvor mange?
hint
Se Metode 12.25 i eNote 12.
answer
Dimensionen af billedrummet er lig med rangen af afbildningsmatricen, som er 2. Billedrummet udspændes således af to vektorer. For nemheds skyld vælges de to første søjler i afbildningsmatricen, som er lineært uafhængige, så $f(\reel^4)=\spanVec {(1,3,2),(1,-1,2)}$. En basis for billedrummet er derfor $(\,(1,3,2),(1,-1,2)\,)$.
C
Angiv en basis for afbildningens kerne.
hint
Afbildningens kerne, $\ker(f)$, er et rum som består af samtlige vektorer, der tilfredsstiller ligningen $f(\mx)=\mnul$.
hint
Vi skal altså løse ligningen $f(\mx)=\mnul$, som også kan formuleres $\matind eFe \cdot \vekind ex = \mnul$.
hint
Se Metode 12.23 i eNote 12: Opstil en totalmatrix, som består af matricen $\matind eFe$ forlænget med en 0-søjle og løs ligningssystemet ved Gauss-Jordan elimination.
answer
Da rangen af $\matind eFe$ er 2 og antallet af søjler er 4, er $\dim (\,\ker (f)\,) =4-2=2$. Basis skal altså udgøres af to lineært uafhængige vektorer, som udspænder rummet. Efter Gauss-Jordan elimination er det oplagt at vælge $(-\frac{5}{4},-\frac{7}{4},1,0)$ og $(-\frac{5}{4},\frac{1}{4},0,1)$.
D
Tilhører $(1,2,3)$ billedmængden $f(\reel ^4)\,$?
hint
Se Metode 12.24 i eNote 12.
answer
Nej.
E
Løs vektorligningen $\,f(\mathbf x)=(2,2,4)\,$.
hint
Se Metode 12.24 i eNote 12
answer
$\mathbf x = (1,1,0,0)+\ker f\,$.
Opg 3: Lineære afbildninger i planen
Vi betragter i det følgende et sædvanligt koordinatsystem $\,(O, \mathbf i, \mathbf j)\,$ i planen. Alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. En vilkårlig vektor $\,\mathbf x\,$ er tegnet blå, mens billedvektoren $\,\mathbf y\,$ er rød. $\,\mathbf F\,$ angiver afbildningsmatricen for $f\,$ med hensyn til standardbasen.
ved at flytte søjlevektorerne $\,\mathbf s_1\,$ og $\,\mathbf s_2\,$ med musen. Find derefter billedet af $\,(1,2)\,$ ved at flytte $\,\mathbf x\,$ hen til $\,(1,2)\,$ med musen.
$3\,.$ Find billedet af basisvektor $\,\mathbf i\,$ ved trække $\,\mathbf x\,$ hen til $(1,0)\,$. Gør det tilsvarende med basisvektor $\,\mathbf j\,$. Passer basisvektorernes billeder med tallene i $\,\mathbf F\,$?
$1\,.$ Hvad sker der med billedvektoren når der flyttes rundt på $\,\mathbf x\,$?
$2\,.$ Udregn det$\,(\mathbf F)\,$, og bestem rangen af $\,\mathbf F\,$. Bestem en basis for billedrummet.
$3\,.$ Hvilken forventning må vi have til kernens dimension? Bestem en ligning for den rette linje som indeholder kernen (vink: find først en vektor som afbildes i 0-vektoren ved at flytte på $\,\mx\,$).
$1\,.$ Ideen her er at $\,\mathbf x\,$ er bundet til det viste linjestykke. Flyt på $\,\mathbf x\,$, og følg sporet af $\,\mathbf y\,$.
$2\,.$ Parallelforskyd linjestykket med musen og flyt igen på $\,\mathbf x\,$ Hvad sker der med billedet. Afprøv evt. andre indstillinger af $\,\mathbf F\,$. Sammenfat iagttagelserne i en hypotese.
$1\,.$ Indledende øvelse: Hvordan skal $\,\mathbf F\,$ indstilles så det blå hus bliver afbildet på dets spejling i y-aksen? Samme spørgsmål for x-aksen.
Det oplyses at kernen for $f$ har dimensionen 1. Find straks, alene ved hovedregning, en basis for $\,f(V)\,$.
answer
En mulig basis er $\,(\,(1,2,3),(1,0,0)\,)\,$.
B
I rummet er der givet et sædvanligt koordinatsystem $\,(O,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k)$. Alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. Afbildningen $\,p\,$ projicerer vektorer ned i $(X,Y)$-planen i rummet, se figuren
Vis at $\,p\,$ er lineær, og opstil afbildningsmatricen $\matind ePe$ for $p$ med hensyn til standardbasen $e\,.$ Bestem en basis for projektionens kerne og billedrum. Tjek at dimensionssætningen er opfyldt.
Mulig basis for $\,\ker(p)\,$ er $\,(\mathbf k)\,$. Mulig basis for billedrummet $\,(\mathbf i,\mathbf j)\,$. Definitionsrummet har dimensionen 3, kernen har dimensionen 1 og billedrummet har dimensionen 2. Da $3=1+2$ er dimensionssætningen opfyldt.
Opg 6: Afbildningsmatricer for spejlinger
I planen er der givet et sædvanligt $\,(O,\mathbf i,\mathbf j)$-koordinatsystem, og alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. Som nævnt i Opgave 12.3 i eNote 12 er spejlinger i linjer gennem Origo lineære.
Her betragter vi spejling af vektorer i linjen $\,y=x\,,$ lad os kalde denne lineære afbildning $s\,.$
A
Bestem $s(\mathbf i)$ og $s(\mathbf j)$, opstil afbildningsmatricen $\matind eSe$ for $s\,$ og bestem et udtryk for spejlingen af en vilkårlig plan vektor $\,\mathbf u\,$ med $e$-koordinaterne $(u_1,u_2)\,$.
answer
$\matind eSe =\begin{matr}{rr}0&1\newline 1&0\end{matr}\,$. Billedets $e$-koordinatvektor er $\,\begin{matr}{r}u_2\newline u_1\end{matr}\,$.
Vi betragter et nyt $\,(O,\mathbf v_1,\mathbf v_2)$-koordinatsystem hvor alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. $\,\mv_1\,$ er en enhedsvektor lagt langs linjen $\,y=\frac 12\,x\,,$ som vist på figuren, og $\,\mv_2\,$ er tværvektoren for $\,\mv_1\,.$
Vi ønsker at finde afbildningsmatricen $\matind eRe$ for den lineære afbildning $\,r\,$ som spejler vektorer i linjen $\,y=\frac 12\,x\,.$ Vi gør det i to step.
B
Bestem afbildningsmatricen $\matind vRv$ for $r\,$ med hensyn til basen $\,v=(\mv_1,\mv_2)\,.$
hint
Hvad sker der med basisvektorerne $\,\mv_1\,$ og $\,\mv_2\,$ ved den nævnte spejling.
Bestem afbildningsmatricen $\matind eRe$ for $r\,$ med hensyn til standardbasen. Lad $\,\mathbf u\,$ være en vilkårlig vektor i planen med $e$-koordinaterne $(u_1,u_2)\,.$ Bestem et udtryk for spejlingen af $\,\mathbf u\,$ i linjen $\,y=\frac 12\,x\,.$
hint
Du får nok brug for basisskiftematricen $\,\matind eMv\,.$ Og måske endda dens inverse.
answer
$$\matind eRe =\begin{matr}{rr}\frac35&\frac45\newline \frac45&-\frac35\end{matr}\,.$$
Opg 7: Basisskifte-gymnastik med afbildningsmatricer
Givet vektorerne $\,\ma_1=(1,2)\,$ og $\,\ma_2=(3,7)\,$ i $\,\reel^2\,$ og $\,\mc_1=(1,2,2)\,,$$\,\mc_2=(2,3,1)\,$ og $\,\mc_3=(1,2,1)\,$ i $\,\reel^3\,$. Lad den lineære afbildning $\,f:\reel^2\rightarrow\reel^3\,$ være givet ved
Opstil de to hhv. tre vektorer som søjler i en matrix. Hvis denne matrix er regulær, er vektorerne lineært uafhængige.
answer
Da dim$(\reel^2)=2$, og de to vektorer $\ma_1$ og $\ma_2$ er lineært uafhængige, udgør de en basis for $\reel^2$ (jf. sætning 11.22). Tilsvarende: Da dim$(\reel^3)=3$, og de tre vektorer $\mc_1$, $\mc_2$ og $\mc_3$ er lineært uafhængige, udgør de en basis for $\reel^3$.
B
Angiv afbildningsmatricen for $\,f\,$ med hensyn til basen $\,(\ma_1,\ma_2)\,$ i $\,\reel^2\,$ og basen $\,(\mc_1,\mc_2,\mc_3)\,$ i $\,\reel^3\,$.
hint
Du skal opstille en matrix $\matind cFa$, så $\vekind cy=\matind cFa\cdot\vekind ax$.
hint
$\matind cFa = \begin{matr}{cc} _\mathrm cf(\ma_1) & _\mathrm cf(\ma_2)\end{matr}$.
hint
Husk, at i forhold til basen $(\ma_1,\ma_2)$ er $\ma_1=\begin{matr}{rr} 1 \newline 0 \end{matr}$ og $\ma_2=\begin{matr}{rr} 0 \newline 1 \end{matr}$.
hint
Elementerne i $_\mathrm cf(\ma_1)$ er koefficienterne fra $f(\ma_1)$.
Mængden af andengradspolynomier $\,P_2(\reel)\,$ kan betragtes som et 3-dimensionalt vektorrum. De reelle tal $\,\reel\,$ er et 1-dimensionalt vektorrum. Vi undersøger afbildninger fra det førstnævnte vektorrum til det andet.
En afbildning $\,f:P_2(\reel)\rightarrow \reel\,$ er givet ved
$$\,f(P(x))=P\,'(1)\,.$$
Vi illustrerer med et par eksempler:
A
Bestem $\,f(x^2)\,$ og $\,f(-x^2+2x-2)\,,$ se figuren.
B
Vis at $f$ er lineær.
hint
Du skal vise
1. $f(P(x)+Q(x))=f(P(x))+f(Q(x))$
2. $f(k(P(x))=k\cdot f(P(x))$
answer
Se eksempel 12.8 i eNote 8.
C
Ét af de to polynomier på figuren tilhører kernen for $\,f\,,$ hvilket? Bestem en basis for $\,\ker (f)\,.$
hint
Hvad skal koefficienterne i et polynomium som tilhører ker$(f)\,$ opfylde?
answer
En basis for kernen er givet ved $\,(1\,,\,x^2-2x)\,.$
D
Vis at billedrummet $\,f(P_2(\reel))\,$ for $\,f\,$ er lig med dispositionsrummet for $\,f\,.$
En afbildning $\,g:P_2(\reel)\rightarrow \reel\,$ er givet ved
