Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor $\,\mathbf n_{\mathcal F}\,$ og beregn vektorfeltets flux gennem fladen.
answer
Flux($\mV,\mathcal F$)$=\frac 38\,.$
Opg 2: Flux gennem en åben og en lukket flade
En funktion $\,h:\reel^2 \rightarrow \reel\,$ er givet ved forskriften
$$\,h(x,y)=1-x^3\,.$$
Vi betragter et rektangel i $(x,y)$-planen som er bestemt ved $\,0\leq x\leq 1\,$ og $\,-\frac{\pi}2\leq y\leq \frac{\pi}2\,.$ Lad fladen $\,\mathcal F\,$ være den del af grafen for $\,h\,$ som ligger lodret over rektanglet.
A
Bestem en parameterfremstilling for $\mathcal F\,.$
hint
$\mathcal F$ er en såkaldt grafflade.
answer
$\mathbf s(u,v)=(u,v,1-u^3)\,$ hvor $u\in \left[0,1\right]$ og $v\in \left[-\pi/2,\pi/2\right]\,.$
Lad nu $\Omega$ betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem rektanglet i $(x,y)$-planen og $\mathcal F\,.$
C
Bestem en parameterfremstilling for $\Omega\,.$
hint
Du kan sikkert genbruge den parameterfremstilling du lavede for $\mathcal F\,,$ skal bare pille lidt ved 3.koordinaten.
answer
$\mr(u,v,w)=(u,v,w(1-u^3))\,$ hvor $u\in \left[0,1\right]\,,$$v\in \left[-\pi/2,\pi/2\right]\,$ og $w\in \left[0,1\right]\,.$
D
Brug Gauss’ sætning til at bestemme fluxen af $\mV$ ud gennem overfladen af $\Omega\,.$
hint
Faktisk består overfladen af $\Omega$ af 5 fladestykker. Det fine ved Gauss’s sætning er at vi kun behøver et integral, men det er et rumintegral. Hvilket?
hint
Du skal finde rumintegralet af divergensen af $\mV$ over $\Omega\,.$ Find integranden, som er
$$\textrm{Div}\mV(\mr(u,v,w))\mathrm{Jacobi}_{\mathbf r }(u,v,w)\,$$
og bestem trippelintegralet, evt. med Maple.
answer
Integranden er
$$\,u^6w-2u^3w+w+u^4\sin(v)-u\sin(v)\,$$
og facit er $\,\displaystyle{\frac{9}{28}}\,\pi\,.$
Opg 3: Optimering af flux. Maple
Denne opgave løses med Maple.
Der er givet vektorfeltet
$$\mV(x,y,z)=(xyz\,,x+y+z\,,\frac{z}2\,)\,.$$
samt planen $\,\alpha\,$ med ligningen $\,z+x=2\,.$
A
Bestem en parameterfremstilling for den del af $\,\alpha\,$ som ligger (lodret) over kvadratet udspændt af punkterne $\,(1,1,0),(-1,1,0),(-1,-1,0)\,$ og $\,(1,-1,0)\,$. Parameterfremstillingen ønskes valgt således at dens tilhørende normalvektor har positiv $\,z$-koordinat.
hint
Måske finder du straks en parametrisering. Eller måske vil du tænke på $\alpha$ som graf for højdefunktionen $z=h(x,y)=2-x\,$ således at spørgsmålet handler om en grafflade.
B
Bestem fluxen gennem den parameteriserede del af $\,\alpha\,.$
answer
Fluxen = 4.
En flade $\mathcal F$ består af to dele: $\,\mathcal F_1$ som er den del af $\alpha$ som ligger (lodret) over den i $(x,y)$-planen liggende cirkelskive $x^2+y^2\leq 1\,.$$\mathcal F_2$ som er den (lodrette) cylinderflade der er begrænset nedadtil af enhedscirklen $x^2+y^2=1$ i $(x,y)$-planen og opadtil af planen $\alpha\,.$
Åben flade bestående af to dele
C
Bestem en parameterfremstilling for $\,\mathcal F\,$, således at $\,z-$koordinaten for den til $\,\mathcal F_1\,$ hørende normalvektor har positiv $\,z$-koordinat og således at den til $\,\mathcal F_2\,$ normalvektor vender bort fra $\,z$-aksen.
hint
$\,\mathcal F_1\,$ kan opfattes som en grafflade. Cirkelskiven i $\,(x,y)$-planen kan vi parametrisere ved
med oplagte intervaller for $u$ og $v\,.$ Sættes derefter ind i standardparametriseringen for en grafflade. Tjek til sidst normalvektorens retning (afgørende for fluxens fortegn).
For $\mathcal F_2$ starter vi med paramerisering af cirkelperiferien i $(x,y)$-planen:
