Da egenværdierne for $\mathbf H$ i $(0,1)$ og i $(0,-1)$ har forskelligt fortegn er de ikke sted for et egentligt lokalt emstrema. Da egenværdierne for $\mathbf H$ i $(-1,0)$ begge positive har $f$ egentligt lok.min. i $(-1,0)\,.$
Da der kun kan være estremum i stationære punkter, er det ønskede vist.
C
Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mathbf V\,$ langs en selvvalgt kurve $\,\mathcal K\,$ fra origo til et vilkårligt punkt $\,(x,y)\,.$ Vink: Du kan bruge formlen
Eller du kan integrere langs den trappelinje i $\,(x,y)$-planen der først går fra $\,( 0,0)\,$ til $\,( x,0)\,$ og dernæst fra $\,( x,0)\,$ til $\,( x,y)\,.$
answer
Det tangentielle kurveintegral: $\frac 12\,x^2 +x -xy^2\,.$
Da vektorfeltet er et gradientfelt, vil de to metoder i vinket give samme svar.
D
Bestem den værdi som $\,f\,$ antager i det i spørgsmål N) omtalte egentlige lokale minimum.
answer
Det lokale minimum: $f(-1,0)=-\frac 12\,.$
Opg 3: Repetition med Gauss og Stokes
I $\,(x,y)$-planen i $\,(x,y,z)$-rummet er der givet punktmængden
$$\,A=\left\{\,(x,y)\,|\,0\leq x \leq2\,\,\mathrm{og} -\frac{\pi}{2}\leq y \leq\frac{\pi}{2}\,\right\}\,$$
og funktionen
$$h(x,y)=x\cos(y)\,.$$
Lad $\,\mathcal F\,$ betegne den del af grafen for $\,h\,$ som ligger lodret over $\,A,$ se figuren.
A
Bestem en parameterfremstilling $\,\mathbf r(u,v)\,$ for $\,\mathcal F,$ og bestem den til $\,\mathbf r(u,v)\,$ hørende normalvektor
For eksempel: $\mathbf r(u,v)=\big(\,u,v,u\cos(v)\,\big)$ hvor $u\in \left[0,2\right]$ og $v\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\,.$
Den hertil hørende normalvektor: $\,\mathbf N=\big(-\cos(v),u\sin(v),1\,\big ).$
Om et vektorfelt $\,\mathbf V\,$ i $\,(x,y,z)$-rummet oplyses at
Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af $\,\mathbf V\,$ langs den lukkede randkurve $\,\partial \mathcal F\,$ for $\,\mathcal F\,$ med den på figuren viste orientering af $\,\partial \mathcal F\,$.
answer
Med den ønskede orientering blive cirkulationen $\,-3\pi\,.$
C
Lad $\, \Omega\,$ betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem $\,A\,$ og $\,\mathcal F\,.$ Bestem fluxen af $\,\mathbf V\,$ ud gennem den lukkede overflade $\,\partial \Omega\,$ af $\, \Omega\,.$
answer
Fluxen ud gennem overfladen bliver $\,\displaystyle{\frac 13\,(2\pi+16)}\,.$