\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: En flow-kurve i planen

Et vektorfelt af første grad $\mathbf U$ i $(x,y)$-planen er givet ved

$$\mathbf U(x,y)=\left(\frac 18\,x +\frac 38\,y\,,\,\frac 38\,x +\frac 18\,y\,\right).$$
A

Bestem den til $\mathbf U$ hørende systemmatrix og find (gerne med Maple eller SymPy) matricens egenværdier med tilhørende egenvektorer.

B

Flowkurven $\,\mr_1(u)\,$ er bestemt ved at den går gennem punktet $\,(0,-1)\,$ til tiden $\,u=0\,,$ og flowkurven $\,\mr_2(u)\,$ ved at den går gennem $\,(0,\frac 12)\,$ til tiden $\,u=0\,$. Find ved hjælp af resultaterne fra spørgsmål a) og de angivne begyndelsesbetingelser en parameterfremstilling for $\,\mr_1(u)\,$ og $\,\mr_2(u)\,.$

C

Lav en Maple/SymPy-illustration der både indeholder vektorfeltet og de to flowkurver.

Opg 2: Flowkurver i rummet

I $\,(x,y,z)$-rummet er der givet vektorfeltet

$$\mathbf V(x,y,z)=(z\,,\,\frac 1{10}\,y\,,-x)\,.$$
A

Bestem egenværdierne for den til $\,\mathbf V\,$ hørende systemmatrix.

B

Bestem flowkurven $\,\mr(u)\,$ for $\,\mathbf V\,$ svarende til begyndelsesbetingelsen $\,\mr(0)=(1,1,1)\,$ (gerne vha. Maple/SymPy’s dsolve).

C

Lav en Maple/SymPy-illustration hvor $\,\mathbf V\,$ plottes sammen med $\,\mr(u)\,$ for $\,u\in [\,0,5\,\pi\,]\,.$

Betragt linjestykket $\,\mathcal L\,$ som går fra punktet $\,(1,1,1)\,$ til punktet $\,(2,2,2)\,.$

D

Bestem en parameterfremstilling for $\,\mathcal L\,.$

E

Bestem (gerne vha. dsolve) flowkurven $\,\mr(u)\,$ for $\,\mathbf V\,$ svarende til den begyndelsesbetingelse, at $\,\mr(0)\,$ er et vilkårlig punkt på $\,\mathcal L\,$.

F

Bestem en parameterfremstilling for den flade $\,\mathcal F\,$ som $\,\mathcal L\,$ gennemløber i rummet, når vi forestiller os at $\,\mathcal L\,$ flyder med vektorfeltet i tiden $\,u\in [\,0,5\,\pi\,]\,,$ og plot $\,\mathcal F\,$ sammen med vektorfeltet.

Opg 3: Gradientvektorfelt i rummet

En funktion $f$ er givet ved

$$f(x,y,z)=(x-1)^2+2\,(y-1)^2+(z-1)^2-4\,.$$
A

Bestem ved håndregning (hovedregning ?) gradienten af $\,f\,.$

B

Find en parameterfremstilling for niveaufladen $\,\mathcal K_0\,$ svarende til $\,f(x,y,z)=0\,.$

C

Gradienten af $\,f\,$ kan opfattes som et gradientvektorfelt i rummet. Lav en Maple/SymPy-illustration der både indeholder et plot af niveaufladen $\,\mathcal K_0\,$ og et plot af gradientvektorfeltet (brug fieldplot3d/dtuplot.plot_vector).

D

Vis at gradienten for $\,f\,$ i ethvert punkt $\,P\,$ på $\,\mathcal K_0\,$ står vinkeltret på $\,\mathcal K_0\,$ i $\,P\,$ (eller mere præcist: på tangentplanen for $\,\mathcal K_0\,$ i $\,P\,).$

E

Hvilken betydning har det velkendte slogan: ‘‘Gradienten peger i den retning hvor funktionen vokser mest’’ i denne sammenhæng?

Opg 4: Grublerier over gradienter

To vektorfelter i rummet er givet ved:

$$ \begin{align*} \mathbf U(x,y,z)&=(xy\cos(z)\,,y^2+xz\,,3z)\,\newline \mathbf V(x,y,z)&=(2x\mathrm{e}^{x^2},2\cos(y^2)\,y\,,3)\, \end{align*} $$
A

Det påstås at det ene af vektorfelterne er et gradientvektorfelt, mens det andet ikke er det. Vis at denne påstand er korrekt!

Opg 5: Tangentielle kurveintegraler. Håndregning

I $(x,y)$-planen er der givet et vektorfelt

$$\mV(x,y)=(x^2-2xy\,,\,y^2-2xy)$$

samt en kurve $\,K\,$ givet ved ligningen

$$y=x^2, \quad x\in\left[ -1,1\right]\,.$$
A

Bestem det tangentielle kurveintegral

$$\int_K\mV\cdot\me\, d\mu.$$

I $\,(x,y,z)$-rummet er der givet et vektorfeltvektorfelt

$$\mV(x,y,z)=(\,y^2-z^2\,,\,2yz\,,-x^2)$$

samt en kurve $\,K\,$ med parameterfremstillingen

$$\mr(u)=(u,u^2,u^3)\,, \quad u\in\left[ 0,1\right]\, .$$
B

Bestem det tangentielle kurveintegral

$$\int_K\mV\cdot\me\, d\mu.$$

Opg 6: Integration langs trappelinje

I planen betragtes et vilkårligt punkt $\,P=(x,y)\,$ og vektorfeltet

$$\,\mV(x,y)=(xy,x)\,.$$
A

Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs den rette linje fra Origo til $\,P\,.$

Ved trappelinjen fra Origo til $\,P\,$ forstås den stykkevis rette linje der går fra Origo til punktet $\,(x,0)\,$ og derefter fra $\,(x,0)\,$ til $\,(x,y)\,.$

B

På et stykke papir med $\,(x,y)$-koordinatsystem: Skitsér trappelinjen for forskellige valg af $\,P\,.$ Bestem derefter det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs trappelinjen fra Origo til vilkårligt $\,P\,.$

C

Afgør ud fra dine svar på spørgsmål a) og b) om $\,\mV\,$ et gradientvektorfelt.

Opg 7: Stamfunktioner

I rummet betragtes et vilkårligt punkt $\,P=(x,y,z)\,$ og vektorfeltet

$$\,\mV(x,y,z)=(y\cos (xy),z+x\cos (xy),y)\,.$$

Ved trappelinjen fra Origo til $\,P\,$ forstås den stykkevis rette linje der går fra Origo til punktet $\,(x,0,0)\,,$ derefter fra $\,(x,0,0)\,$ til $\,(x,y,0)\,$ og til sidst fra $\,(x,y,0)\,$ til $\,(x,y,z)\,.$

A

Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs trappelinjen fra Origo til $\,P\,.$

B

Undersøg om $\,\mV\,$ er et gradientvektorfelt og angiv i bekræftende fald samtlige stamfunktioner.

Givet et vektorfelt

$$\mU(x,y,z)=\frac{(y,x,2z)}{1+x^2y^2+2xyz^2+z^4}\,.$$
C

Bestem ved hjælp af Maple/SymPy det tangentielle kurveintegral af $\,\mU\,$ langs en ret linje fra Origo til et vilkårligt punkt $\,(x,y,z)\,.$

D

Undersøg om $\,\mU\,$ er et gradientvektorfelt og angiv i bekræftende fald samtlige stamfunktioner.