\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Bestemmelse af stamfunktion. Håndregning

I $\,(x,y,z)$-rummet er der givet vektorfeltet

$$\mV(x,y,z)=(x+z,-y-z,x-y)\,.$$
A

Bestem $\,\mathbf{Rot}(\mathbf V(x,y,z)\,)\,$ og argumentér for at $\,\mV\,$ er et gradientvektorfelt.

B

Bestem ved hjælp af tangentielt kurveintegral af $\,\mV\,$ langs trappelinjen til et vilkårligt punkt $\,(x,y,z)\,$ samtlige stamfunktioner $\,\mV\,.$

Opg 2: Divergens og rotation. Håndregning

A

Bestem såvel divergens som rotation i punktet $(1,1,1)$ af vektorfeltet

$$\mathbf V(x,y,z)=(-y\,x\,,x\,y^2\,,x\,y\,z)\,.$$

Opg 3: Eksplosion, implosion og rotation

I i $(x,y,z)$-rummet er der givet vektorfelterne

$$ \begin{align*} \mathbf U(x,y,z)&=(x,y,z)\,,\newline \mathbf V(x,y,z)&=(-y,x,1)\,,\newline \mathbf W(x,y,z)&=(-x,-y,-z)\,. \end{align*} $$
A

Bestem divergensen og rotationen for de tre vektorfelter.

B

Afgør i forlængelse af dit svar på spørgsmål A hvilke af vektorfelterne $\,\mU\,,\,\mV\,$ og $\,\mW\,$ der er gradientvektorfelter.

Opg 4: Tangentielle kurveintegraler i gradientvektorfelter

Givet en funktion

$$\,f(x,y,z)=\cos (x\,y\,z)\,,$$

et vektorfelt

$$\mV(x,y,z)=\nabla(f(x,y,z))$$

samt en kurve $\,K\,$ som udgør den rette linje fra $\,(\pi,\frac{1}{2},0)\,$ til $\,(\frac{1}{2},\pi,-1)\,.$

A

Bestem det tangentielle kurveintegral

$$\int_K\mV\cdot\me\, d\mu.$$

Givet et vektorfelt

$$\mV(x,y,z)=\nabla (x^2+yz)$$

samt en kurve $\,K\,$ med parameterfremstillingen

$$\mr(u)=(\cos(u) ,\sin(u),\sin (2u)), \quad u\in\left[\, 0,2\pi\right] \,.$$
B

Bestem det tangentielle kurveintegral

$$\int_K\mV\cdot\me\, d\mu.$$

Opg 5: Cirkulationer i planen

I $\,(x,y)$-planen betragtes cirklerne

$$C_1:\,x^2+y^2=1\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,C_2:\,(x-1)^2+(y-1)^2=1\,.$$

Der er endvidere givet et vektorfeltet

$$\,\mV(x,y)=(x^2+y^2,xy)\,.$$
A

Bestem det tangentielle kurveintegral af $\mV$ langs cirklerne idet cirklerne gennemløbes én omgang mod uret.

B

Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs cirklerne idet cirklerne gennemløbes én omgang med uret.

C

Ud fra resultatet på spørgsmål A og B : Er $\,\mV\,$ et gradientvektorfelt?

Opg 6: Studium af divergens (advanced)

I denne opgave vil vi i et simpelt eksempel (med et førstegradsvektorfelt og konstant divergens), verificere følgende påstand: Divergensen angiver den lokale ‘‘udvidelsestendens’’ i vektorrummet. Følg blot de nedestående trin - hen ad vejen kommer du til at parametrisere et rumligt område i bevægelse og bestemme dets tidsafhængige volumen!

I $\,(x,y,z)$-rummet er der givet vektorfeltet

$$\,\mathbf V(x,y,z)=(5x-4z\,,-2x-y+4z\,,\,2x-z)\,$$

og en akseparallel kube

$$\mathcal A=\left\{(x,y,z)\,|\,-\frac 12\,\leq x \leq \frac 12\,\,,1\leq\,y\leq 2\,\,,-\frac 12\,\leq z \leq \frac 12\,\right\}\,.$$
A

Bestem (gerne vha. dsolve) flowkurven $\,\mr(t)\,$ for $\,\mathbf V\,$ svarende til den begyndelsesbetingelse, at $\,\mr(0)\,$ er et vilkårlig punkt i $\,\mathcal A\,.$

Lad $\,\mathcal A_t\,$ betegne det legeme som $\,\mathcal A\,$ er derformeret til til tiden $\,t\,$ når vi forestiller os at $\,\mathcal A\,$ flyder med vektorfeltet.

B

Find et udtryk for rumfanget Vol$(t)\,$ af $\,\mathcal A_t\,$ udtrykt som funktion af $\,t\,.$ Hvor stort er rumfanget til tiden $\,t=1\,.$ Bestem forholdet

$$\frac{\mathrm{Vol}\,'(0)}{\mathrm{Vol}(0)}\,\,$$

og udregn Div$(\mathbf V(x,y,z)\,)\,$.