\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Opvarmning: et trippelintegral

Bestem trippelintegralet

$$\,\displaystyle{\int_1^2\,\int_1^2\,\int_1^2 \frac{xy}{z}\,\, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\,.}$$

Opg 2: Parametriseret rumligt område

Denne opgave løses ved håndregning.

Et område $\,\Omega\,$ i $\,(x,y,z)$-rummet er givet ved parameterfremstillingen

$$\quad \mr(u,v,w)=\big(\,\frac{1}{2}\,u^2-v^2\,,\,-uv\,,\,w\,\big)\,,\,\,\,u\in \left[\, 0,2\,\right]\,,\,\,v\in \left[\, 0,2\,\right]\,,\,\,w\in \left[\, 0,2\,\right]\,.$$
A

I $\,\Omega\,$ er der givet punktet

$$\,P=\mr(1,1,1)\,.$$

Afsat udfra $\,P\,$ udspænder tangentvektorerne $\,\mr_u’(1,1,1)\,,\,\mr_v’(1,1,1)\,$ og $\mr_w’(1,1,1)\,$ et parallel-epipedum. Bestem volumen af dette parallel-epipedum. Illustrér evt. med Maple.

B

Bestem Jacobifunktionen der hører til $\,\mr\,$.

C

Bestem voluminet af $\Omega\,$.

Opg 3: Enhedskuglefladen og den massive enhedskugle

Betragt i $\,(x,z)$-planen i rummet en profilkurve $\,C\,$ givet ved

$$(x,z)=\mathbf s(u)=(\,\sin(u),\cos(u)\,)\,,\,\,u\in [\,0\,,\pi\,]\,.$$
A

Bestem en parameterfremstilling for den flade $\,\mathcal S\,$ der fremkommer ved at $\,C\,$, betragtet som rumkurve, drejes $\,2\pi\,$ omkring $\,z$-aksen.

B

Gør rede for at ethvert punkt $\,(x,y,z)\,$ på $\,\mathcal S\,$ opfylder ligningen $\,x^2+y^2+z^2=1\,,$ og at $\,\mathcal S\,$ er enhedskuglen med centrum i Origo.

C

Bestem arealet af $\,\mathcal S\,$.

Et profilområde $\,M\,$ i $\,(x,z)$-planen i rummet er givet ved parameterfremstillingen

$$(x,y,z)=\mathbf s(u,v)=(u\sin(v),0,u\cos(v)\,)\,,\,\,u\in[\,0,1\,]\,,v\in[\,0,\pi\,]\,.$$
D

Angiv en parameterfremstilling $\,K\,$ for det omdrejningslegeme der fremkommer når $\,M\,$ drejes vinklen $\,2\pi\,$ omkring $\,z$-aksen. Hvilket geometrisk objekt er der tale om?

E

Bestem

$$\int_{K} (z+1)\,d\mu\,.$$

Opg 4: Områder afgrænset af graf-flade

En funktion af to variable er givet ved

$$z=h\,(x,y)=x^2+y\,.$$
A

Givet rektanglet

$$A=\,\left\{(x,y)\,|\,x\in[\,-1,1\,]\,\,\mathrm{og}\,\,y \in[\,0,2\,]\,\right\}$$

i $\,(x,y)$-planen. Vi betragter det rumlige område $\,B\,$ som ligger mellem $\,A\,$ og grafen for $\,h\,$.

Find en parameterfremstilling for $\,B\,.$ Plot ved hjælp af parameterfremstillingen den del af grafen for $\,h\,$ som indgår i $\,B\,.$ Bestem derefter den tilhørende Jacobi-funktion, og bestem

$$\int_{B} x^2-y\,d\mu\,.$$

Et område $\,C\,$ i $\,(x,y)$-planen fremkommer ved at den del af enhedscirkelskiven

$$\,\left\{(x,y)\,|\,x^2+y^2\leq1\,\right\}\,$$

som ligger i første kvadrant, parallelforskydes med vektoren $\,(1,0)\,.$ Vi betragter det rumlige område $\,D\,$ som ligger mellem $\,C\,$ og grafen for $\,h\,$.

B

Find en parameterfremstilling for $\,D\,$. Plot ved hjælp parameterfremstillingen den del af grafen for $\,h\,$ som indgår i $\,D\,$. Bestem derefter den tilhørende Jacobi-funktion og voluminet af $\,D\,.$

Opg 5: Omdrejningslegeme. Parametrisering og integral

I $\,(x,z)$-planen i rummet betragtes den udfyldte trekant T som har hjørnerne

$$(0,0,0)\,,\,\,(1,0,0)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,(0,0,1)\,.$$
A

Giv en parameterfremstilling for T.

B

Angiv en parameterfremstilling for det omdrejningslegeme $\,\Omega\,$ der fremkommer når T drejes vinklen $\,2\pi\,$ omkring $\,z$-aksen. Hvilket geometrisk objekt er der tale om?

C

Bestem rumfanget af omdrejningslegemet.

Opg 6: Mere om kugler

Betragt fladen $\,F\,$ givet ved

$$\mr(u,v)=\big(\,R\sin(u)\cos(v)\,,R\sin(u)\sin(v)\,,R\cos(u)\,\big) \,,\,\,u\in [\,a\,,\,b\,]\,\,,\,\,v\in [\,c\,,\,d\,]\,.$$

Der skal her gælde at $\,R\geq 0\,$, $0\leq a \leq b \leq \pi\,$ og $\,0\leq c\leq d\leq 2\pi\,.$

A

Hvilken betydning har parametrene $\,R,\,a,\,b,\,c\,$ og $d\,?$

B

Bestem arealet af $\,F\,$.

Opg 7: Endnu mere om kugler

Betragt det rumlige område givet ved

$$\mr(u,v,w)=\big(\,u\sin(v)\cos(w)\,,u\sin(v)\sin(w)\,,u\cos(v)\,\big) \,,\,\,u\in [a\,,\,b]\,,\,\,v\in [c\,,\,d]\,,\,\,w\in [e\,,\,f]\,.$$
A

Hvilken betydning har parametrene?

Lad $\,A\,$ være det område der er bestemt ved valget:

$$a=1\,,\,\,b=3\,,\,\,c=\frac{\pi}{4}\,\,,d=\frac{\pi}{3}\,,\,\,e=0\,,\,\,f=\frac{3\pi}{4}$$

og $\,B\,$ ved valget

$$ a=2\,,\,\,b=4\,,\,\,c=\frac{\pi}{4}\,\,,d=\frac{\pi}{2}\,,\,\,e=-\frac{\pi}{4}\,,\,\,f=\frac{\pi}{4}\,.$$
B

Beskriv i ord hvert af områderne $\,A\,$, $\,B\,$ og $\,A\cap B\,,$ og bestem deres volumen.

C

Find integralerne

$$\int_Ax\, d\Omega,\, \int_Bx\, d\Omega\,\mathrm{og}\, \int_{A\cap B}x\, d\Omega.$$