\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Planintegraler over akseparallelle rektangler.

Opgaven løses ved håndregning.

A

Udregn planintegralet

$$\int_B (x^2y^2+x) \; d\mu, \quad\mathrm{hvor}\quad B=\left\lbrace (x,y)\,\vert\, 0\leq x\leq 2\,, -1\leq y\leq 0\right\rbrace\, .$$

B

Udregn planintegralet

$$\int_B (\frac{y}{1+xy}) \;d\mu, \quad\mathrm{hvor}\quad B=\left\lbrace (x,y)\,\vert\, 0\leq x\leq 1\,, 0\leq y\leq 1\right\rbrace\, \, .$$

Opg 2: Parametrisering og planintegral. Håndregning

I $(x,y)$-planen er der givet punktet $\displaystyle{P_0=\left(2\,,1\right)\,}$ og punktmængden

$$B=\left\lbrace (x,y)\,\Big\vert\, \frac 32\leq x\leq \frac 52 \,\,\,\mathrm{og}\,\,\, 0\leq y\leq \frac 12\, x^2\right\rbrace .$$
A

Lav en foreløbig skitse af $B\,$ og angiv en parameterfremstilling $\mr(u,v)$ for $B\,$ med passende intervaller for $u$ og $v\,.$ Bestem to tal $u_0$ og $v_0$ således at $\mr(u_0,v_0)=P_0\,.$

B

Lav en illustration af $B$ med Maple/SymPy hvor du udfra $P_0$ afsætter tangentvektorerne $\mr’_u(u_0,v_0)$ og $\mr’_v(u_0,v_0)\,.$ Bestem arealet af det parallelogram som udspændes af tangentvektorerne.

C

Bestem den til $\mr(u,v)$ hørende Jacobi-funktion, og udregn planintegralet

$$\displaystyle{\int_B\, \frac{1}{x^2+y} \,d\mu}\,.$$

Opg 3: Polære koordinater. Håndregning

En funktion $\,f:\reel^2\rightarrow \reel\,$ er givet ved

$$\,\displaystyle{f(x,y)=x^2-y^2}\,.$$

For et givet punkt i $\,(x,y)$-planen betegner $\,\varrho\,$ punktets absolutværdi (afstanden fra punktet til Origo). Tilsvarende betegner $\,\varphi\,$ punktets argument (vinklen mellem $x$-aksen og punktets stedvektor, regnet med fortegn i omdrejningsretningen mod uret). En punktmængde $B$ er i polære koordinater beskrevet ved

$$B=\left\{(x,y)\,|\,0\leq \varrho \leq a\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,-\frac{\pi}{4} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\right\}$$

hvor $\,a\,$ er et vilkårligt positivt reelt tal.

A

Lav en skitse af $\,B\,$, og bestem arealet af $\,B\,$ både ved integration og elementær geometrisk betragtning.

B

Bestem planintegralet $\displaystyle{\int_B f(x,y) \;d\mu}\,.$

Opg 4: Parameterflader

Opgaven løses ved håndregning.

En flade $\,F_{\mr}\,$ er givet ved parameterfremstillingen

$$\mr(u,v)=(u\cos (v),u\sin (v),v)\,,\,\, u\in\left[ 0,2\right] ,\,v\in\left[ 0;2\pi\right]\, .$$
A

Et punkt på fladen er givet ved $\,P_0=(0,1,\frac{\pi}{2})\,.$ Bestem to tal $\,u_0\,$ og $\,v_0\,$ således at $\,\mr(u_0,v_0)=P_0\,.$ Afsat ud fra $\,P_0\,$ udspænder tangentvektorerne $\,\mr’_u(u_0,v_0)\,$ og $\,\mr’_v(u_0,v_0)\,$ et parallelogram $\,\mathcal P\,.$ Angiv en parameterfremstilling for $\,\mathcal P\,.$

B

Lav en Maple/SymPy-illustration som indeholder: 1) $F_{\mr}\,$ 2) $\mr’_u(u_0,v_0)\,$ og $\,\mr’_v(u_0,v_0)\,$ 3) normalvektoren $\,\mathbf n(u_0,v_0)=\mr’_u(u_0,v_0)\times \mr’_v(u_0,v_0)\,$ 4) $\,\mathcal P\,.$

C

Bestem arealet af $\,\mathcal P\,.$

D

Find den til $\mr(u,v)$ hørende Jacobi-funktion, og bestem arealet af $F_{\mr}\,.$

Opg 5: Cylinderflade. Parametrisering og integral

En cylinderflade er en flade som står lodret på en såkaldt ledekurve i $(x,y)$-planen. For at cylinderfladen skal være veldefineret, skal der være angivet et interval, som $z$ gennemløber for alle punkter $(x,y)$ på ledekurven. I denne opgave ser vi på disse to cylinderflader: cyl_1.png cyl_2.png

En cylinderflade $\mathcal C_1$ er givet ved

$$\mathrm{Ledekurve}=\lbrace (x,y)\,\vert\, (x-1)^2+y^2=1\rbrace\,\,\mathrm{og}\,\,z\in\left[\, 0,1\,\right]\, .$$
A

Bestem en parameterfremstilling for $\mathcal C_1\,.$

B

Udregn

$$\int_{C_1}(x+yz)\,\mathrm d\mu.$$

En anden cylinderflade $\mathcal C_2$ er givet ved

$$\mathrm{Ledekurve}=\lbrace (x,y)\,\vert\, x\geq 0 \,\,\,\mathrm{og}\,\,\,y\geq 0\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,x^2+y^2=1\rbrace\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,z\in\left[\, 0\,,\frac 12+ x^2\,\right]\, .$$
C

Find en parameterfremstilling for $\mathcal C_2\,,$ udregn den tilhørende Jacobi-funktion og bestem arealet af $\mathcal C_2\,.$

Opg 6: Massefordelinger i $(x,y)$-planen

Betragt punktmængden

$$\,B=\left\lbrace (x,y)\,\vert\, 1\leq x\leq 2 \,\,\mathrm{og}\,\, 0\leq y\leq x^3\right\rbrace\,.$$
A

Bestem massen og massemidtpunktet når massetætheden er konstant, $f(x,y)=1.$

B

Bestem massen og massemidtpunktet når massetætheden er $f(x,y)=x^2.$

Som i opgave 3 betragtes punktmængden

$$\displaystyle{B=\left\{(x,y)\,|\,0\leq \varrho \leq a\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,-\frac{\pi}{4} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\right\}}\,.$$
C

Bestem massen og massemidtpunktet når massetætheden er konstant, $\,f(x,y)=1.\,$

D

Bestem massen og massemidtpunktet når massetætheden er $f(x,y)=x^2.$

Opg 7: Supplerende opgave: reparametrisering

En flade $F$ er givet ved parameterfremstillingen

$$\mr(u,v)=(\sqrt u\cos v,\sqrt u\sin v, v^{3/2}), \quad u\in\left[ 1,2\right] ,\, v\in\left[ 0,u\right] \,.$$
A

Angiv en alternativ parameterfremstilling, hvis parameterområde er rektangulært.

B

Udregn

$$\int_F(x^2+y^2)\,d\mu.$$