\\\\(
\nonumber
\newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$}
\newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}}
\newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}}
\newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace}
\newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}}
\newcommand{\eqnl}{}
\newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}}
\newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}}
\newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}}
\newcommand{\am}{\mathrm{am}}
\newcommand{\gm}{\mathrm{gm}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}
\newcommand{\mU}{\mathbf{U}}
\newcommand{\mA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\mB}{\mathbf{B}}
\newcommand{\mC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\mD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\mE}{\mathbf{E}}
\newcommand{\mF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\mK}{\mathbf{K}}
\newcommand{\mI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\mM}{\mathbf{M}}
\newcommand{\mN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\mT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\mV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\mW}{\mathbf{W}}
\newcommand{\mX}{\mathbf{X}}
\newcommand{\ma}{\mathbf{a}}
\newcommand{\mb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\mc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\md}{\mathbf{d}}
\newcommand{\me}{\mathbf{e}}
\newcommand{\mn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\mr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\mv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\mw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\mx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}}
\newcommand{\my}{\mathbf{y}}
\newcommand{\mz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\reel}{\mathbb{R}}
\newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}}
\newcommand{\mnul}{\mathbf{0}}
\newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)}
\newcommand{\Det}{\operatorname{Det}}
\newcommand{\adj}{\operatorname{adj}}
\newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}}
\newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}}
\newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}}
\newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}}
\newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}}
\newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}}
\newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}}
\newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}}
\newcommand{\IS}{\operatorname{I}}
\newcommand{\IIS}{\operatorname{II}}
\newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}}
\newcommand{\Le}{\operatorname{L}}
\newcommand{\app}{\operatorname{app}}
\newcommand{\M}{\operatorname{M}}
\newcommand{\re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\compl}{\mathbb{C}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\\\\)
Opg 1: Partiel integration og substitution i to variable
A
Bestem $\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} u\cos(u+v)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dv\,.}$
Show hint
Find ved partiel integration med hensyn til $\,u\,$ en stamfunktion $\,F(u)\,$ for funktionen
$$\,u\cos(u+v)\,.$$
Så vil
$$\displaystyle{F(\frac{\pi}{2})-F(0)}$$
være en funktion af $\,v\,$ som du nu skal finde en stamfunktion $\,G(v)\,$ til. Og indsætte grænserne for $\,v\,$ i.
Show hint
$G(v)=\frac{\pi}{2}\,\cos(v)-\sin(v)-\cos(v)\,.$
Show answer
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}-2}\,.$
B
Bestem $\displaystyle{\int_0^1\left(\int_0^1\, \frac{v}{(uv+1)^2}\,\mathrm du\right)\,\mathrm dv\,.}$
Show hint
Find ved substitution med hensyn til $\,u\,$ en stamfunktion $\,F(u)\,$ for funktionen
$$\displaystyle{\,\frac{v}{(uv+1)^2}\,.}$$
Så vil
$$\displaystyle{F(1)-F(0)}$$
være en funktion af $\,v\,$ som du nu skal finde en stamfunktion $\,G(v)\,$ til. Og indsætte grænserne for $\,v\,$ i.
Show hint
$\displaystyle{G(v)=1-\frac{1}{v+1}}\,.$
Opg 2: Planintegral med parametrisering Vi skal bestemme planintegralet
$$\int_B \,2xy\,d\mu\, \quad\mathrm{hvor}\quad B=\left\lbrace (x,y)\,\vert\, 0\leq x\,, 0\leq y\,, x+y\leq 1\right\rbrace\,.$$
Følg de nedenstående trin.
A
Skitsér først området $B.$ Bestem derefter en parameterfremstilling for $B\,$ .
Show hint
Se det parametriseringseksempel i Maple/SymPy-Demoen.
Show answer
$B$ kan parametrisers på (uendeligt) mange måder, én af dem er:
$$
\mathbf r(u,v)=(u,v(1-u))\,,\;\mathrm{hvor}\; u\in\left[ 0,1\right]\,\,\mathrm{og}\,\, v\in\left[ 0,1\right]\,.$$
B
Bestem den Jacobi-funktion, som svarer til denne parametrisering.
Show answer
Jacobi$_\mathbf r(u,v)=1-u\,$ .
C
Bestem nu det ønskede integral.% Du kan evt. anvende Maple/SymPy til at finde stamfunktionerne.
Show hint
Du skal indsætte parametriseringens første- og andenkoordinat i funktionen $\,2xy\,,$ gange med Jacobifunktionen, og derefter integrere, først med hensyn til $u$ og dernæst $v\,.$
Show hint
Du skal integrere
$$\int_0^1\left(\int_0^1 2u^3v-4u^2v+2uv\;\mathrm du\right)\,\mathrm dv.$$
Show hint
En stamfunktion med hensyn til $\,u\,$ er:
$$\displaystyle{\frac 12\,u^4v-\frac 43\,u^3v+u^2v}\,.$$
Når du indsætter $\,u\,$ -grænserne, får du $\,\displaystyle{\frac 16\, v}\,$ som du nu skal integrere mht. $\,v\,.$
Show answer
$$\int_B \,2xy \,d\mu=\frac{1}{12}\,.$$
Opg 3: Grafflade, parametrisering og integration Intro: Hvis der er givet en funktion af to variable over et akseparallelt rektangel:
$$h(x,y)\,,\,\, x\in\left[ a,b\right] ,\,y\in\left[ c,d\right]\,,$$
er det pærenemt at opstille en parameterfremstilling for dens graf:
$$
\begin{matr}{c}x\newline y\newline z\end{matr}=\mr(u,v)=\begin{matr}{c}u\newline v\newline h(u,v)\end{matr}
\,,\,\, u\in\left[ a,b\right] ,\,v\in\left[ c,d\right]$$
A
Givet funktionen $\,h(x,y)=\sqrt 3\,y\,$ og punktmængden
$$\,M=\left\{(x,y)\,|\,x\in\left[ 0,1\right] ,\,y\in\left[ 0,2\right]\right\}\,.$$
Lad $G$ betegne den del af grafen for $h$ som ligger lodret over $M\,.$
Bestem en parameterfremstilling for $G\,,$ og udregn fladeintegralet
$$\int_G\,xyz\,\mathrm d\mu\,.$$
Show answer
En parameterfremstilling er $\mr(u,v)=(u,v,\sqrt 3\,v)\,,\,\, u\in\left[ 0,1\right] ,\,v\in\left[ 0,2\right]\,.$
Show hint
$\jac r {u,v}=\,|\,\mathbf n(u,v)\,|=|\,\mathbf r’_u(u,v)\times \mathbf r’_v(u,v)\,|\,$ .
Show hint
$\displaystyle{\mn(u,v)=
\begin{matr}{c}1\newline 0\newline 0\end{matr}\times
\begin{matr}{c}0\newline \sqrt 3\newline 1\end{matr}=
\begin{matr}{c}0\newline -\sqrt 3\newline 1\end{matr}}.$
$\jac r {u,v}$ er længden af denne vektor, det bliver i dette tilfælde en konstant.
Show hint
For at finde integranden, mangler du nu kun at indsætte parametriseringens første-, anden- og tredjekoordinat i funktionen $\,xyz\,$ og gange med Jacobifunktionen.
Show answer
$$\int_Gxyz\,d\mu=\frac{8\sqrt 3}{3}.$$
Opg 4: Omdrejningsflade, parametrisering og intergral Intro: En omdrejningsflade $F$ fremkommer ved at en profilkurve som er givet i $(x,z)$ -planen, drejes omkring $z$ -aksen.
Et parabelstykke $K$ i $(x,z)$ -planen er givet ved ligningen
$$z=\frac{x^2}4\,\,,\,\,x\in [\,0\,,\,2\,]\,.$$
A
Gør rede for at $K$ betragtet som rumkurve kan beskrives ved parameterfremstillingen
$$\mr(u)=(g(u),0,h(u))=\left(u,0,\frac{u^2}{4}\right), \quad\mathrm{hvor}\,u\in\left[\, 0,2\,\right] .$$
Show hint
Andenkoordinaten 0 står blot for at $y=0\,$ idet kurven ligger i $(x,z)$ -planen.
En omdrejningsflade $F$ fremkommer ved at profilkurven $K$ drejes $2\pi$ omkring $z$ -aksen.
B
Gør nøje rede for at $F$ kan beskrives ved parameterfremstillingen
$$
\begin{align*}
\mr(u,v)&=\big(\,g(u)\cos(v),g(u)\sin(v),h(u)\,\big)\newline
&=\big(\,u\cos(v),u\sin(v),\frac{u^2}{4}\,\big)\,,\,\,u\in[\,0,2\,]\,\,,v\in[\,0,2\pi\,]\,.
\end{align*}
$$
Show hint
Se formellinje (23.30) i eNote 23, afsnit 23.1.2. Eller indse helt fra bunden at
$$\begin{matr}{ccc}
\cos(v)&-\sin(v)&0\newline
\sin(v)&\cos(v)&0\newline
0&0&1\end{matr}\,$$
ganges med parameterfremstillingen for $K\,$ .
Se evt. videre i dagens Maple/SymPy-Demo, afsnittet om omdrejningsflader.
C
Vi indfører nu funktionen $f(x,y,z)=x^2+y^2\,,$ og skal bestemme fladeintegralet
$$\int_F f\mathrm d\mu.$$
Show hint
Nu kender du snart melodien: Find Jacobi, indsæt parameterfremstillingen i $f\,,$ gang dem sammen, så har du integranden.
Show answer
$$\int_F f\mathrm d\mu=\frac{64(1+\sqrt 2)\pi }{15}.$$
Opg 5: Grafflade, parametrisering og integration For en funktion af to variable
$$h(x,y)=2-x^2-y^2\,$$
betragter vi de to følgende grafflader:
$$
\begin{align*}
F&=\lbrace(x,y,z)\,\vert\,x\in \left[\,0\,,\,1\,\right]\,, y\in \left[\,0\,,\,2\,\right] \,\,\mathrm{og}\,\, z=h(x,y)\,\rbrace\,,\newline
G&=\lbrace(x,y,z)\,\vert\, x^2+y^2\leq 2\,\,\mathrm{og}\,\, z=h(x,y)\,\rbrace\,.
\end{align*}
$$
A
Beregn $\displaystyle{\int_F\sqrt{9-4z}\,d\mu}\,.$
Show hint
Bemærk at $\,F\,$ er et akseparallelt rektangel i $(x,y)$ -planen. Plot evt. fladen med Maples implicitplot3d og drej den så du ser den ‘‘fra oven’’. Bestem en parameterfremstilling for $\,F\,,$ find dens tilhørende Jacobi-funktion og udregn fladeintegralet.
Show hint
Integranden bliver nemmere end man umiddelbart skulle tro, fordi parameterfremstillingen indsat i funktion bliver det samme som Jacobi-funktionen: kvardratroden forsvinder!
Show answer
$$\int_F\sqrt{\,9-4z}\,d\mu=\int_0^2\left(\int_0^1 1+4u^2+4v^2\,du\right)\,dv=\,\frac {46}3\,.$$
B
Beregn $\displaystyle{\int_G\sqrt{9-4z}\,d\mu}\,.$
Show hint
Denne gang er området i $(x,y)$ -planen ikke et akseparallelt rektangel. Bestem først en parameterfremstilling for området $\,x^2+y^2\leq 2\,$ i $\,(x,y)$ -planen, og dernæst en paramterfremstilling for $\,G\,.$
Show hint
Området i $(x,y)$ -planen er en cirkelskive. Den kan parametriseres ved
$$(x,y)=(u\cos v,u\sin v)\,,\,\, u\in [\,0,\sqrt 2\,]\,,\,\,v\in [\,0,2\pi\,]\,.$$
Show hint
$\,G\,$ kan parametriseres ved
$$\,(x,y,z)=\mr(u,v)=(u\cos v,u\sin v,2-u^2)\,,\,\, u\in [\,0,\sqrt 2\,]\,,\,\,v\in [\,0,2\pi\,]\,.$$
Tredjekoordinaten i $\,G\,$ fremkommer når man bruger idiotreglen.
Show hint
Find Jacobifunktionen, og udregn integralet (brug evt. Maple/SymPy til at finde stamfunktioner).
Show answer
$$\int_G\,\sqrt{9-4z}\,d\mu=10\,\pi\,.$$
