\\\\(
\nonumber
\newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$}
\newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}}
\newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}}
\newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace}
\newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}}
\newcommand{\eqnl}{}
\newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}}
\newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}}
\newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}}
\newcommand{\am}{\mathrm{am}}
\newcommand{\gm}{\mathrm{gm}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}
\newcommand{\mU}{\mathbf{U}}
\newcommand{\mA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\mB}{\mathbf{B}}
\newcommand{\mC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\mD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\mE}{\mathbf{E}}
\newcommand{\mF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\mK}{\mathbf{K}}
\newcommand{\mI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\mM}{\mathbf{M}}
\newcommand{\mN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\mT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\mV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\mW}{\mathbf{W}}
\newcommand{\mX}{\mathbf{X}}
\newcommand{\ma}{\mathbf{a}}
\newcommand{\mb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\mc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\md}{\mathbf{d}}
\newcommand{\me}{\mathbf{e}}
\newcommand{\mn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\mr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\mv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\mw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\mx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}}
\newcommand{\my}{\mathbf{y}}
\newcommand{\mz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\reel}{\mathbb{R}}
\newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}}
\newcommand{\mnul}{\mathbf{0}}
\newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)}
\newcommand{\Det}{\operatorname{Det}}
\newcommand{\adj}{\operatorname{adj}}
\newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}}
\newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}}
\newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}}
\newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}}
\newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}}
\newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}}
\newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}}
\newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}}
\newcommand{\IS}{\operatorname{I}}
\newcommand{\IIS}{\operatorname{II}}
\newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}}
\newcommand{\Le}{\operatorname{L}}
\newcommand{\app}{\operatorname{app}}
\newcommand{\M}{\operatorname{M}}
\newcommand{\re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\compl}{\mathbb{C}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\\\\)
Opg 1: Bestemte integraler
A
Bestem en stamfunktion til hver af funktionerne
$$x^3\,,\,\,\frac{1}{x^3}\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\sin(3x-\frac{\pi}{2})\,.$$
Show hint
Bemærk at det første eksempel blev taget op i opgave 1 på Store Dag, og de to næste er dækket i opgave 2 på Store Dag.
Show hint
Vedr. andet eksempel: Brug omskrivningen $\displaystyle{\frac{1}{x^3}=x^{-3}}\,.$
Show answer
$$\frac{1}{4}\,x^4\,,\,\,-\frac{1}{2x^2}\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,-\frac{1}{3}\,\cos(3x-\frac{\pi}{2})\,.$$
B
Udregn de følgende bestemte integraler
$$\int_0^{1}x^3\,\mathrm{d}x\,,\,\,\int_1^{2}\frac{1}{x^3}\,\mathrm{d}x\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\sin(3x-\frac{\pi}{2})\,\mathrm{d}x\,.$$
Show answer
$$\frac{1}{4}\,,\,\,\frac{3}{8}\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\frac{1}{3} \,.$$
Opg 2: Partiel integration. Håndregning
A
Bestem en stamfuntion til funktionen $\,x\cos(x)\,,$ og tjek at den er korrekt.
Show hint
Brug sætning 23.7 idet du sætter $\,f(x)=\cos(x)\,$ og $\,g(x)=x\,.$
Show answer
$\cos(x)+x\sin(x)\,.$
Idet $(\cos(x)+x\sin(x))’=-\sin(x)+\sin(x)+x\cos(x)=x\cos(x)\,$ har vi vist at stamfunktionen er ok.
B
Bestem det ubestemte integral $\displaystyle{\,\int{t\e^t \mathrm dt}\,},$ og tjek at det er korrekt.
Show hint
Brug sætning 23.7 idet du sætter $\,f(t)=\e^t\,$ og $\,g(t)=t\,.$
Show answer
$\,t\e^t-\e^t+\mathrm{konst}\,.$ Tjek med differentiation.
C
Bestem en stamfuntion til funktionen $\,x^2\ln(x)\,,\,\,x>0\,.$
Show hint
Brug sætning 23.7 idet du sætter $\,f(x)=x^2\,$ og $\,g(x)=\ln(x)\,.$
Show answer
$\displaystyle{\frac 13\, x^3\,\ln(x)-\frac 19\, x^3}\,.$
D
En førsteordens lineær differentialligning er givet ved
$\,x’(t)-2x(t)=3t\,.$ Løs den med panserformlen .
Show hint
Midt i det hele får du nok brug for at kunne udregne det ubestemte integral
$$\displaystyle{\int e^{-2t}3t\,\mathrm dt}\,.$$
Show answer
$\displaystyle{x(t)= -\frac 32\,t-\frac 34+c\cdot\e^{2t}\,,\,\,c\in \reel\,}.$
Opg 3: Integration ved substitution Til spørgsmålene i denne opgave, benyt substitutionsformlen
$$\int{f(g(x))g'(x)\mathrm dx}=\int{f(t)\,\mathrm dt}\,\,\,\mathrm{hvor}\,\,\,t=g(x)\,.$$
A
Bestem en stamfunktion til $\,\displaystyle{x\e^{x^2}}\,.$
Show hint
Kan du identificere en indre funktion $g(x)$ og en ydre funktion $f(x)\,?$
Show hint
Hvis vi sætter $\,g(x)=x^2\,$ og $\,f(x)=\e^x\,,$ har vi
$$f(g(x))\cdot g'(x)=\e^{x^2}\cdot 2x=2\cdot(x\e^{x^2})\,.$$
Show answer
$\displaystyle{\int{x\e^{x^2}\,\mathrm dx}=\frac 12\cdot\int{f(t)\,\mathrm dt}=\frac 12\,\e^t=\frac 12\,\e^{x^2}\,.}$
B
Find det ubestemte integral $\displaystyle{\int \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm dx\,.}$
Show hint
Kan du identificere en indre funktion $\,g(x)\,$ og en ydre funktion $\,f(x)\,?$
Show hint
Hvis vi sætter $\,g(x)=x^2+1\,$ og $\,f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}}\,,$ har vi
$$f(g(x))g'(x)=2\,\frac{x}{x^2+1}\,.$$
Show answer
$\displaystyle{\int \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm dx=\frac 12\cdot\int{f(t)\,\mathrm dt}=\frac 12\cdot\int{\frac{1}{t}}\,\mathrm dt=\frac 12\,\ln(t)+k=\frac 12\ln(x^2+1)+k}\,.$
C
Find en stamfunktion til $\,\displaystyle{\frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)}}\,$ og bestem derefter $\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)} \mathrm dx\,.}$
Show hint
Sæt $g(x)$ lig med nævneren, osv.
Show answer
$\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)} dx = \ln(4)-\ln(2)=\ln(2)\,.}$
Opg 4: Parametrisering og kurveintegral. Håndregning Intro: Hvis en kurve i $(x,y)$ -planen er givet som grafen for en funktion
$$y=f(x)\,,\,\,x\in \left[a,b\right]$$
er det pærenemt at angive en parameterfremstilling for kurven:
$$\begin{matr}{c}x\newline y\end{matr}=\mathbf r(u)=\begin{matr}{c}u\newline f(u)\end{matr}\,,\,\,u\in \left[a,b\right]\,.$$
En kurve $K$ er givet som et stykke af grafen for funktionen $\ln(x)\,:$
$$K=\left\lbrace (x,y)\in\reel^2\,\vert\, y=\ln(x)\,,\,\,x\in\left[ 1\,,\,2\sqrt 2\right] \right\rbrace .$$
A
Angiv en parameterfremstilling for kurven og bestem den Jacobi-funktion der hører til parameterfremstillingen
Show answer
Parameterfremstillingen: $\mr(u)=(\,u,\ln (u)\,)\,\,\mathrm{hvor}\,\ u\in\left[ 1\,,\,2\sqrt 2\right]\,.$
Jacobi$\displaystyle{(u)=|\,\mr’(u)\,|=\sqrt{1+\frac{1}{u^2}}=\frac{1}{u}\sqrt{u^2+1}}\,.$
B
Udregn kurveintegralet $\displaystyle{\int_Kx^2\,d\mu\,.}$
Show hint
$x$ skal substitueres med parameterfremstillingens førstekoordinat $u\,.$ Dermed fås (når vi husker at gange med Jacobi-funktionen) integranden
$$\displaystyle{u\sqrt{u^2+1}}\,.$$
Find en stamfunktion til integranden ved substitutionsmetoden, idet du betragter $\,g(x)=x^2+1\,$ som indre funktion og $\,f(x)=\sqrt x\,$ som ydre.
Show answer
$$\int_Kx^2ds=\int_1^{2\sqrt 2}u\sqrt {u^2+1}\,\mathrm dt=9-\frac{2\sqrt 2}{3}.$$
Opg 5: Areal og Volumen. Advanced Nyd venligst arkitekten Norman Forster’s glas-skyskraber The Gherkin i London på figuren til venstre!
Vi har i $\,(x,z)$ -planen i rummet afgrænset et område $\,A\,$ ved hjælp af koordinatakserne og grafen for funktionen
$$x=f(z)=\frac 12\,\sqrt{-z^2+2z+3}\,,\,\,\,\,z\in\left[0,3\right]\,.$$
A
En massiv model af The Gherkin fremkommer når vi drejer området $\,A\,$ omkring $\,z$ -aksen med vinklen $2\pi.$ Bestem volumen af modellen.
Show hint
Der er vistnok en formel for sådan et rumfang $\ldots\,$
Show hint
Rumfangsformlen: $\displaystyle{\pi\int_{}^{}{f(z)^2}\,\mathrm dz }\,.$
B
Bestem arealet af området $\,A\,.$
Show hint
Der skal en hel del akrobatik til at finde en stamfunktion for $\,f\,.$ Sæt den indre funktion til $\,\displaystyle{g(z)=\frac 12 z -\frac 12\,}$ og den ydre til $\,\displaystyle{h(z)=2\sqrt{1-z^2}}\,$ og bestem $\,h(g(z))g’(z)\,.$
Show hint
Så får du $\,\displaystyle{\int f(z)\,\mathrm dz=2\int{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt}\,.$
Show hint
Nu kan du måske bruge denne omskrivning:
$$\sqrt{1-t^2}=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}+t\cdot \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}\,.$$
Husk eller find også den afledede af $\,\mathrm{Arcsin}(t)\,.$
Show hint
$$\int \sqrt{1-t^2}\,\mathrm dt=\frac 12 t\sqrt{1-t^2}+\frac 12 \mathrm{Arcsin}(t)\,.$$
Show answer
Arealet: $\,\displaystyle{\frac 23\,\pi+\frac{\sqrt{3}}{4}}\,.$
