$f\,$ er en funktion af to relle variable med forskriften $\,f (x,y) = x^2y+y\,.$ Bestem samtlige lokale ekstrema for $f\,.$
hint
Eventuelle ekstremumspunkter kan kun findes i funktionens stationære punkter.
answer
Funktionen har ingen stationære punkter. Derfor ingen ekstrema.
Opg 2: Anvendelse af Hessematrix
Denne opgave løses ved håndregning.
A
Gør rede for at funktionen $\,f (x,y) = x^2+4y^2-2x-4y\,$ har netop ét ekstremum, bestem ekstremumspunktet og ekstremumsværdien.
hint
Eventuelle ekstremumspunkter kan kun findes i funktionens stationære punkter.
hint
Bestem Hessematricen og den egenværdier? Hvilken betydning har egenværdierne? Tjek evt. Hjælpesætning 21.17 i eNote 21.
answer
Funktionen har ét stationært punkt, nemlig $(x,y)=(1,\frac{1}{2})$. Hessematricen er konstant og har overalt (og derfor også i dette punkt) positive egenværdier, så der er lokalt minimum i punkt. Minimumværdien er $f(1,\frac 12)=-2\,$.
B
Hvad er forskellen mellem et ekstremum og et egentligt ekstremum? Er det fundne ekstremum et egentligt ekstremum?
answer
Svaret på sidste spørgsmål er ja, se Hjælpesætning 21.17 i eNote 21..
Opg 3: Lokale ekstrema for funktion af to variable
Givet funktionen $f:\reel^2\rightarrow\reel$ med forskriften
$$f(x,y)=x^3+2y^3+3xy^2-3x^2.$$
A
Vis at punkterne $\,A=(2,0)\,,$$B=(1,-1)\,$ og $\,C=(0,0)\,$ er stationære punkter for $\,f\,$ og afgør for hvert af dem om der er et lokalt maksimumspunkt eller lokalt minimumspunkt. Angiv i givet fald den lokale maksimumsværdi/minimumsværdi, og afgør om den er egentlig.
hint
For $A$ og $B$ kan sagen afgøres vha. egenværdierne for Hessematricen i punkterne. $C$ kræver yderligere undersøgelse, man kan f.eks. lave fortegnsundersøgelse af $f$ på linjen $x=0\,.$
hint
Nærmere bestemt: Hvad sker der med $\,f(0,y)=2y^3\,$ når $\,y=0\,$ passeres? Og hvad siger det om muligheden for ekstremum?
answer
Der er egentligt minimum i punktet $\,A\,$ med minimumsværdien $\,f(2,0)=-4\,.$ Der ikke ekstremum i $\,B\,$ og $\,C\,.$
B
Vis at det approksimerende andengradspolynomium for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,A\,$ kan skrives som en ligning i de ubekendte $\,x,y\,$ og $\,\,z$ på denne form:
og tjek navnetabellen i afsnit $22.3\,$ i eNote 22. Besøg evt. også:
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadric#Euclidean_space
answer
$\lambda_1$ og $\lambda_2$ er egenværdierne for matricen $\,\mathbf H\,$.
Ligningen beskriver en opadvendt elliptisk parabloide med toppunkt $\,T=(c_1,c_2,c_3)=(2,0,-4)\,.$ NB: De to første koordinater i $\,T\,$ angiver $\,A\,,$ mens det sidste er minimumsværdien for $\,f\,$ i $\,A\,.$
C
Tegn grafen for $f$ sammen med grafen for de approksimerende andengradspolynomier for $f$ med udviklingspunkterne $A\,,$$B$ og $C\,.$ Diskutér om man ud fra egenværdierne for Hessematricerne i de tre punkter kan afgøre hvilken keglesnitsfladetype andengradspolynomierne beskriver.
Opg 4: Globalt maksimum og globalt minimum
En funktion med med definitionsmængden $\reel ^2$ er givet ved
$$f(x,y)=xy(2-x-y)+1$$
Lad $\,M\,$ betegne det område i $\,(x,y)$-planen hvor $\,x\in\left[ 0,1\right]$, og $y\in\left[ 0,1\right]\,.$
A
Find ved håndregning samtlige stationære punkter for $\,f\,$ i det indre af $\,M\,.$
answer
I det indre af $\,M\,$ findes ét stationært punkt, nemlig $\,(\frac 23,\,\frac 23)\,.$
B
Bestem det globale maksimum og minimum for $\,f\,$ på $\,M\,$ samt de punkter hvori disse værdier antages.
hint
Kan vi overhovedet vide, at $\,f\,$ har globalt maksimum og globalt minimum på $\,M\,?$
hint
Se Hovedsætning 21.10 i eNote 21.
hint
De globale ekstrema findes i undtagelsespunkter, i funktionens stationære punkter eller langs randen af $M$, se videre i Metode 21.13.
hint
Randundersøgelsen gennemføres nemmest ved at betragte restriktionen af $f$ til de relevante dele af linjestykkerne $(x,0)$, $(0,y)$, $(x,1)$ og $(1,y).$
hint
Når du har fundet stationære punkter og lokale ekstrema langs restriktionerne, skal du udregne funktionsværdierne i alle disse punkter samt i linjestykkernes endepunkterne: $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ og $(1,1).$ Den største af disse funktionsværdier er globalt maksimum af $f$ på $M$ og den mindste globalt mimimum.
answer
Global maksimumværdi = $\,\frac{35}{27}\,$ som antages i $\,\frac 23,\,\frac 23)\,.$
Global minumiumværdi = 1 antages på hele linjestykket $\,(x,0\,)$ for $\,0\leq x \leq 1\,$, på hele linjestykket $\,(0,y)\,$ for $\,0\leq y \leq 1\,$ og i punktet $\,(x,y)=(1,1)\,.$
C
Bestem værdimængden af $\,f\,$ på $\,M\,.$
answer
Da M er sammenhængende, så sluttes det, at værdimængden f(M) = [gmin,gmax] = [1,35/27].
D
Plot grafen for $f$ sammen med punkter der viser hvor på grafen største- og mindsteværdien antages, og tjek at dine resultater ser fornuftige ud.
Opg 5: Globalt maksimum og globalt minimum
Betragt funktionen $f:\reel^2\rightarrow\reel$ givet ved
$$f(x,y)=x^2-3y^2-3xy$$
samt mængden $\,M=\lbrace\,(x,y)\,|\,x^2+y^2\leq 1\,\rbrace\,.$
A
Gør rede for, at $\,f\,$ har både et globalt maksimum og et globalt minimum på $\,M\,$ og bestem disse værdier samt de punkter hvori de antages.
hint
Se Hovedsætning 21.10 og Metode 21.13 i eNote 21
hint
Kandidaterne til største- og mindsteværdi udgøres af funktionens stationære punkter samt de lokale ekstrema langs randen af $\,M\,$.
hint
Det eneste stationære punkt for $\,f\,$ i definitionsmængden er $\,(0,0\,)$. Herefter skal vi undersøge restriktionen af $\,f\,$ til randen af $\,M\,.$
hint
Randen af $\,M\,$ kan paramteriseres ved $\,(x,y)=(\cos (t),\sin(t))\,$ hvor $\,t\in\left[ 0;2\pi\right]\, .$
hint
Restriktionen af $\,f\,$ til randen af $\,M\,$ er da $\,g(t)=f(\cos (t), \sin( t))\,$ hvor $\,t\in\left[ 0;2\pi\right]\,$. Plot grafen for $\,g’(t)\,$, og bestem dens nulpunkter.
hint
Kandidaterne til globalt maksimum og minimum udgøres af $\,(0,0)\,$, de punkter der svarer til løsningen på $\,g’(t)=0\,$ og værdien af $\,g\,$ i randkurvens endepunkter (faktisk er der kun ét endepunkt, hvorfor?). Udregn funktionsværdierne for $\,f\,$ i disse punkter. Den største funktionsværdi er funktionens globale maksimum på $\,M\,$, og den mindste værdi er funktionens globale minimum på $\,M\,.$
answer
Globalt minimum = $-\frac{7}{2}$ antages i $(\frac{\sqrt{10}}{10},\frac{3\sqrt{10}}{10})$ og $(-\frac{\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10})$.
Globalt maksimum = $\frac{3}{2}$ antages i $(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{-\sqrt{10}}{10})$ og $(\frac{-3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10})$.
Opg 6: Globale ekstrema for funktion af tre variable
Vi betragter funktionen $f:\reel^3\rightarrow \reel$ givet ved
Vis at $\,f\,$ i det indre af $\,\mathcal K\,$ kun har ét stationært punkt, nemlig $\,O=(0,0,0)\,,$ og undersøg om $\,f\,$ har ekstremum i $\,O\,.$
answer
Hessematricen viser der ikke er ekstremum i (0,0,0).
B
Bestem den globale maksimumsværdi og den globale minimumsværdi af $\,f\,$ på $\,\mathcal K\,$ og de punkter hvori værdierne antages.
answer
Globalt max = 1 antages i $(0,1,0)$ og $(0,-1,0)\,$.
Globalt min = -1 antages på cirklen $\lbrace(x,y,z)\,|\,y=0\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,x^2+z^2=1\rbrace\,$.
C
Bestem værdimængden af $\,f\,$ på $\,\mathcal K\,.$
Opg 7: Supplerende opgave
Givet funktionen $f:\reel^2\rightarrow\reel$ med forskriften
Der er egentligt minimum i punkterne $\,(\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,) \,$ og $\, (-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,)\,$ med minimumsværdien $\,2-2 \ln 2\,.$
C
Afgør om funktionen $\,f\,$ har et globalt maksimum eller minimum, og angiv værdierne for disse hvis de eksisterer.
answer
Der er intet globalt maksimum. Globalt minimum antages i punkterne $(\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,)\,$ og $\,(-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,)\,$ med værdien $\,2-2 \ln 2\,.$
