\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Drilleopgave

Denne opgave løses ved håndregning.

A

$f\,$ er en funktion af to relle variable med forskriften $\,f (x,y) = x^2y+y\,.$ Bestem samtlige lokale ekstrema for $f\,.$

Opg 2: Anvendelse af Hessematrix

Denne opgave løses ved håndregning.

A

Gør rede for at funktionen $\,f (x,y) = x^2+4y^2-2x-4y\,$ har netop ét ekstremum, bestem ekstremumspunktet og ekstremumsværdien.

B

Hvad er forskellen mellem et ekstremum og et egentligt ekstremum? Er det fundne ekstremum et egentligt ekstremum?

Opg 3: Lokale ekstrema for funktion af to variable

Givet funktionen $f:\reel^2\rightarrow\reel$ med forskriften

$$f(x,y)=x^3+2y^3+3xy^2-3x^2.$$
A

Vis at punkterne $\,A=(2,0)\,,$ $B=(1,-1)\,$ og $\,C=(0,0)\,$ er stationære punkter for $\,f\,$ og afgør for hvert af dem om der er et lokalt maksimumspunkt eller lokalt minimumspunkt. Angiv i givet fald den lokale maksimumsværdi/minimumsværdi, og afgør om den er egentlig.

B

Vis at det approksimerende andengradspolynomium for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,A\,$ kan skrives som en ligning i de ubekendte $\,x,y\,$ og $\,\,z$ på denne form:

$$z-c_3=\frac 12\,\lambda_1(x-c_1)^2+\frac 12\,\lambda_2(y-c_2)^2.$$

Hvilken keglesnitsflade beskriver denne ligning, og hvad angiver konstanterne?

C

Tegn grafen for $f$ sammen med grafen for de approksimerende andengradspolynomier for $f$ med udviklingspunkterne $A\,,$ $B$ og $C\,.$ Diskutér om man ud fra egenværdierne for Hessematricerne i de tre punkter kan afgøre hvilken keglesnitsfladetype andengradspolynomierne beskriver.

Opg 4: Globalt maksimum og globalt minimum

En funktion med med definitionsmængden $\reel ^2$ er givet ved

$$f(x,y)=xy(2-x-y)+1$$

Lad $\,M\,$ betegne det område i $\,(x,y)$-planen hvor $\,x\in\left[ 0,1\right]$, og $y\in\left[ 0,1\right]\,.$

A

Find ved håndregning samtlige stationære punkter for $\,f\,$ i det indre af $\,M\,.$

B

Bestem det globale maksimum og minimum for $\,f\,$$\,M\,$ samt de punkter hvori disse værdier antages.

C

Bestem værdimængden af $\,f\,$$\,M\,.$

D

Plot grafen for $f$ sammen med punkter der viser hvor på grafen største- og mindsteværdien antages, og tjek at dine resultater ser fornuftige ud.

Opg 5: Globalt maksimum og globalt minimum

Betragt funktionen $f:\reel^2\rightarrow\reel$ givet ved

$$f(x,y)=x^2-3y^2-3xy$$

samt mængden $\,M=\lbrace\,(x,y)\,|\,x^2+y^2\leq 1\,\rbrace\,.$

A

Gør rede for, at $\,f\,$ har både et globalt maksimum og et globalt minimum på $\,M\,$ og bestem disse værdier samt de punkter hvori de antages.

Opg 6: Globale ekstrema for funktion af tre variable

Vi betragter funktionen $f:\reel^3\rightarrow \reel$ givet ved

$$\,f(x,y,z)=\sin(x^2+y^2+z^2-1)-x^2+y^2-z^2\,.$$

samt den massive enhedskugle

$$\mathcal K=\left\{(x,y,z)\in \reel^3\,|\,x^2+y^2+z^2\leq 1\right\}\,.$$
A

Vis at $\,f\,$ i det indre af $\,\mathcal K\,$ kun har ét stationært punkt, nemlig $\,O=(0,0,0)\,,$ og undersøg om $\,f\,$ har ekstremum i $\,O\,.$

B

Bestem den globale maksimumsværdi og den globale minimumsværdi af $\,f\,$$\,\mathcal K\,$ og de punkter hvori værdierne antages.

C

Bestem værdimængden af $\,f\,$$\,\mathcal K\,.$

Opg 7: Supplerende opgave

Givet funktionen $f:\reel^2\rightarrow\reel$ med forskriften

$$f(x,y)=\exp(x^2+y^2)-4xy\,$$
A

Find samtlige stationære punkter for $\,f\,.$

B

Find samtlige lokale ekstrema.

C

Afgør om funktionen $\,f\,$ har et globalt maksimum eller minimum, og angiv værdierne for disse hvis de eksisterer.

D

Angiv funktionens værdimængde.