Bestem med udviklingspunktet $\,x_0=0\,$ Taylors grænseformel af grad 2 for funktionen
$$f(x)=2\cos(x)-2\sin(2x)\,,\,\,x\in \reel\,.$$
answer
$\,f(x)=2-4x-x^2+x^2\cdot \epsilon(x)\,.$
B
Drilleopgave: En glat funktion $f$ af én variabel opfylder, at $\,f(2)=1\,$, $\,f’(2)=1\,$ og $\,P_2(1)=1\,.$ Bestem det approksimerende polynomium af anden grad $\,P_2(x)\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunkt $\,x_0=2\,$.
hint
Brug de to første oplysninger til at opskrive $P_2(x)$. Der er faktisk kun én ubekendt. Brug den sidste oplysning til at bestemme den.
Opskriv Taylors grænseformel af grad 2 for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)=(0,0)\,$ på almindelig form.
hint
Se sætning 21.7.
B
Bestem gradienten $\,\nabla f(0,0)\,$ og Hessematricen $\,\mathbf H f(0,0)\,,$ og opskriv på matrixform Taylors grænseformel af grad 2 for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)=(0,0)\,.$
hint
Se sætning sætning 21.8.
Intro til det følgende spørgsmål:
Vi ønsker nu en approksimeret værdi for $\,f(\frac 34, \frac12)\,$ ud fra et approksimerende andengradspolynomium for $\,f\,.$ Det er selvfølgelig nemt bare at bruge det approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet $\,(0,0)\,$ som vi umiddelbart har fra første spørgsmål. På den anden side ligger $\,(\frac 34, \frac 12)\,$ lidt tættere på $\,(1,1\,)$ hvori det også er relativt bekvemt at udvikle fra. Så måske burde man hellere bruge $\,(1,1\,)$ som udviklingspunkt? Hvilken forskel gør det?
C
Bestem de approksimerende polynomier af anden grad, $\,P_2(x,y)\,$ og $\,Q_2(x,y)\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunkterne hhv. $\,(0,0)\,$ og $\,(1,1)\,.$ Bestem værdierne af dem i punktet $\,(\frac 34, \frac 12)\,$ og sammenlign med en computerværdi af $\,f(\frac 34, \frac 12)\,.$
I det følgende spørgsmål skal vi illustrere den fejl, vi får hvis vi anvender det approksimerende 2. gradspolynomium i stedet for den eksakte værdi.
B
Bestem ved hjælp af resultatet i spørgsmål A længden af diagonalen i et rektangel med sidelængerne 2.9 og 4.2 (brug gerne Maple/SymPy til udregningen).
hint
Afstanden fra origo til et vilkårligt punkt $\,(x,y)\,$ er en funktion af 2 variable. Ja det er jo netop $\,f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\,.$
hint
Forestil dig rektanglet placeret i $\,(x,y)$-koordinatsystemet således at diagonalen forbinder punkterne $\,(0,0)\,$ og $\,(2.9,4.2)\,.$
answer
Længden kan approksimeres ved hjælp af $\,P_2\,$ som vi fandt ovenfor med udviklingspunktet $\,(3,4)\,.$ Kort sagt $\,P_{2}(2.9,4.2)=5.10400\,.$
C
Sammenlign med en Maple–værdi af diagonallængden.
answer
Computerværdien er 5.10392, så approksimationen er ikke så ringe endda.
D
Er forskellen signifikant?
answer
Forskellen er ca. $8\cdot10^{-5}$, hvilket ikke er meget i forhold til diagonalens længde.
$$\,A=\left\{(x,y)\in\reel^2\,|\,-2\leq x \leq2\,,\,\,-2\leq y \leq2\right\}\,$$
illustrationer med Maple/SymPy hvor du først ser grafen for $\,f\,$ alene, dernæst sammen med grafen for dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet $\,(0,0)\,.$
B
Hvad er den største og den mindste værdi som $\,f\,$ antager på randen af $\,A\,?$
C
Det ser ud som grafen for $\,f\,$ må have vandret tangentplan i røringspunktet
$$\,R=(0,0,f(0,0))=(0,0,0)\,.$$
Eftervis dette ved at bestemme en normalvektor for tangentplanen i $\,R\,.$ Og gør rede for at punktet $\,(x,y)=(0,0)\,$ derfor er et stationært punkt.
D
Faktisk ser det også ud som om $\,f\,$ har et egentligt lokalt maximum i punktet $\,(0,0)\,$ med værdien
$$\,f(0,0)=0\,.$$
Det vil sige at $\,f(x,y)\,$ skal være negativ når $\,(x,y)\,$ er tilstrækkelig tæt på $\,(0,0)\,.$ Vis ved hjælp af Taylors grænseformel af grad 2 for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(0,0)\,$ at dette er rigtigt.
E
Advanced: Lav en tilsvarende undersøgelse af $\,f\,$ i og omkring punktet $\,(x,y)=(2,2)\,.$
Opg 5: Diagonalisering og reduktion af kvadratisk form
Med Maple/SymPy ser du at $\,\mA\,$ har $-4$ som enkelt–egenværdi, men $-1$ som dobbelt–egenværdi. Derfor skal der gøres lidt arbejde for at finde en ortonormal basis for $\,\reel^3\,$ bestående af egenvektorer for $\,\mA\,.$
hint
At bruge GramSchmidt i $\,\reel^3\,$ er nok at skyde gråspurve med kanoner. Anbefales: Vælg en egenvektor fra egenrummet $\,E_{-4}\,$ og en fra $\,E_{-1}\,.$ Normér dem, og find deres krydsprodukt, så har du tre brugbare vektorer til at opstille din $\,\mathbf{Q}\,$ med.
Bemærk at $\,f\,$ kan deles op i to led, det første en kvadratisk form, lad os kalde den $\,k\,,$ og det andet led et førstegradspolynomium.
B
Bestem forskriften $\,k(x,y,z)\,,$ omform den til matrixform, og reducér den.
hint
Reducere vil sige: Find en sædvanligt orienteret ortonormal basis for $\,\Bbb R^3\,$ hvori forskriften for $\,k\,$ er uden blandede led.
hint
Du har sikkert bemærket at den matrix der indgår i matrixform for $\,k(x,y,z)\,,$ er identisk med $\,\mA\,,$ så du kan bare bruge den basis med tilhørende diagonalisering, vi lavede ovenfor.
answer
Hvis vi vælger søjlerne i den funde $\mathbf Q$ som ny ortonormal basis, får vi denne reduktion af $k:$
Find en sædvanligt orienteret ortonormal basis for $\,\Bbb R^3\,$ hvori forskriften for $\,f\,$ er uden blandede led. Bestem forskriften.
hint
Vi bruger den ortonormale basis fundet ovenfor, så er den kvadratiske form klaret. Nu er spørgsmålet så bare hvordan det førstegradspolynomium der indgår i $\,f\,,$ tager sig ud i den basis.
hint
Brug $\,\mathbf Q\,$ fundet ovenfor som basisskiftematrix.
answer
Hvis vi vælger søjlerne i den funde $\mathbf Q$ som ny ortonormal basis, får $\,f\,$ denne form:
