Opg 1: Cirklens og kuglens ligning på standardform
I et sædvanligt $(O,\mathbf i, \mathbf j)$-koordinatsystem i planen kan en cirkel som bekendt beskrives ved en andengradsligning på standardformen
$$\,(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\,$$
hvor $(c_1,c_2)$ er centrum og $r$ er radius.
A
Opskriv standardligningen for den på figuren viste cirkel.
answer
$\,(x-3)^2+(y+1)^2=4\,.$
B
En cirkel har ligningen
$$\,x^2+y^2+8x-6y=0\,.$$
Sæt den på standardform og bestem derved centrum og radius.
answer
Centrum =$(-4,3)$. Radius=5.
C
En kugle i $(x,y,z)$-rummet har ligningen
$$x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+13 = 0\,.$$
Sæt den på standardformen
$$(x-c_1)^2+(y-c_2)^2+(z-c_3)^2=r^2$$
og bestem derved centrum og radius.
answer
Centrum =$(1,-2,3)$. Radius=1.
Opg 2: Standardligning for de tre typiske keglesnit
Intro: I de følgende eksempler ser vi på andengradsligninger i flere variable uden blandede led. Her er det muligt at gå skridtet videre og fjerne førstegradsleddene. Denne teknik kaldes kvadratkomplettering, og blev praktiseret i opgave 1 med cirkler og kugle. I det følgende skal vi bruge teknikken på vejen mod identifikation af keglesnit.
A
En ellipse i $(x,y)$-planen med centrum $(c_1,c_2),$ halvakserne $a$ og $b$ og symmetriakserne $x=c_1$ og $y=c_2$ har standardligningen
Udfør kvadratkomplettering, sæt ligningen på standardform, og angiv hyperblens centrum, halvakser og symmetriakser.
hint
Plot den givne ligning med (Maple-kommandoen implicitplot/SymPy-kommandoen dtuplot.plot_implicit) og tjek dine resultater.
answer
Centrum $(2,-2).$ Halvakser $a=2,\,b=2$. Symmetriakser $x=2,\,y=-2.$
C
En parabel i $(x,y)$-planen med toppunkt $(c_1,c_2)$ og symmetriaksen $x=c_1$ har standardligningen
$$y-c_2=a(x-c1)^2.$$
Eller alternativt, hvis parablen ikke er lodret men vandret, hvorved symmetriaksen bliver $y=c_2$:
$$x-c_1=a(y-c2)^2.$$
En parabel er givet ved ligningen
$$\,2x^2+12x-y+17=0\,.$$
Udfør kvadratkomplettering, sæt ligningen på standardform, og angiv parablens toppunkt og symmetriakse.
hint
Plot den givne ligning med (Maple-kommandoen implicitplot/SymPy-kommandoen dtuplot.plot_implicit) og tjek dine resultater.
answer
Toppunkt $(-3,-1).$ Symmetriakse: $x=-3.$
Opg 3: Identifikation af et keglesnit
I et sædvanligt $(O,\mathbf i, \mathbf j)$-koordinatsystem i planen er et keglesnit givet ved følgende andengradsligning i to variable
$$9x^2+16y^2-24xy-40x-30y+250=0.$$
Vi skal finde keglesnittets type og karakteristika, og går gradvist frem.
A
Andengradsligningens venstreside kan deles op i to led, det første en kvadratisk form, lad os kalde den $k(x,y),$ og det andet et førstegradspolynomium. Angiv den kvadratiske form, og find dens Hesse-matrix.
$\mA$ kan du måske aflæse direkte fra forskriften for $k?$ Ellers kan du få den ved at gange $\mathbf H$ med $\frac 12.$
answer
Der er flere muligheder, her vælger vi
$\displaystyle{\mathbf Q=\begin{matr}{rr}\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\newline -\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{matr}\quad\mathrm{og}\quad \Lambda= \begin{matr}{rr}25&0\newline 0&0\end{matr}}\,.$
C
Angiv nu den form som $k$ antager efter reduktionen.
answer
Her får vi brug for egenværdierne! Hvis vi kalder de nye variable $x_1$ og $y_1,$ får vi
$k(x_1,y_1)=25\cdot x_1^{\,2}+0\cdot y_1^{\,2}=25\cdot x_1^{\,2}\,.$
D
I et nyt koordinatsystem $(0,\mathbf q_1,\mathbf q_2),$ som fremkommer ved en drejning af $(O,\mathbf i, \mathbf j),$ ændres ligningen for det givne keglesnit så den er uden blandet led. Angiv den ortonormale basis der indgår i det nye koordinatsystem, og bestem den ændrede ligning for keglesnittet.
hint
Som basis bruger vi selvfølgelig søjlerne i $\mQ$.
Vi har allerede overført den kvadratiske form til nye $(x_1,y_1)$-koordinater. Så nu mangler vi bare førstegradsleddene $-40x-30y\,.$
hint
Vi har jo basisskifterelationen $\displaystyle{\begin{matr}{r}x\newline y\end{matr}=\mathbf Q\,\begin{matr}{r}x_1\newline y_1\end{matr}}.$ Herfra ses hvordan $x$ henholdsvis $y$ kan udtrykkes vha. $x_1$ og $y_1$ hvilket du indsætter i $-40x-30y\,.$
answer
$\displaystyle{
(\mathbf q_1,\mathbf q_2)=\left(\begin{matr}{r}\frac{3}{5}\newline -\frac{4}{5}\end{matr},\begin{matr}{r}\frac{4}{5}\newline \frac{3}{5}\end{matr}\right)}.$
Keglesnittet har i det nye koordinatsystem ligningen $25x_1^{\,2}-50y_1+250=0\,.$
E
Hvilket keglesnit er der tale om? Angiv dets karakteriska, både i det nye og det gamle koordinatsystem. Illustrér med Maple/SymPy.
answer
Keglesnittets ligning kan umiddelbart omformes til $\,\displaystyle{y_1-5=\frac 12\,x_1^{\,2}\,.}$ Det er en parabel med toppunkt $(x_1,y_1)=(0,5)$ og $\,y_1$-aksen som symmetriakse.
I det givne koordinatsystem er toppunktet givet ved $\displaystyle {\begin{matr}{r}x\newline y\end{matr}=\mathbf Q\,\begin{matr}{r}0\newline 5\end{matr}=\begin{matr}{r}4\newline 3\end{matr}}.$
En retningsvektor for symmetriaksen i det nye koordinatsystem er $\mathbf e=(0,1).$ Den har i det gamle koordinaterne $\displaystyle{ \mathbf Q\,\begin{matr}{r}0\newline 1\end{matr}=\begin{matr}{r}\frac 45\newline \frac 35\end{matr}}.$ Symmetriaksen har dermed i det gamle parameterfremstillingen
I et sædvanligt retvinklet $(x,y)$-koordinatsystem i planen er en kurve givet ved ligningen:
$$52x^2+73y^2-72xy-200x-150y+525=0.$$
Beskriv kurvens art og beliggenhed, og angiv parameterfremstillinger for eventuelle symmetriakser.
hint
Opskriv den kvadratiske form på matrixformen $\,\begin {matr}{cc} x & y \end{matr}\mA\begin{matr}{rr} x \newline y \end{matr}\,$ og diagonalisér $\,\mA\,.$
hint
Opstil den ligning som keglesnittet har i det nye $(x_1,y_1)$-koordinatsystem, som består af Origo og den nye ortonormale basis. Først klares den kvadratiske form, dernæst førstegradsleddene.
hint
Keglesnittet har i det nye $(x_1,y_1)$-koordinatsystem
$$100x_1^{\,2}+25y_1^{\,2}-250y_1+525=0\,.$$
Nu skal der udføres kvadratkomplettering hvorefter keglesnittet identificeres og karakteriseres!
answer
I det nye koordinatsystem har keglesnittet ligningen
$$\frac {x^2}1+\frac{(y-5)^2}{4}-1=0$$
eller tilsvarende (afhængigt af dit valg af ny basis). Det er altså en ellipse med halvakserne $a=1$ og $b=2$ samt centrum i $(0,5).$
I det givne koordinatsystem er centrum $(4,3),$ og symmetriakserne beskrives ved parameterfremstillingerne:
Storaksen: $\,\displaystyle{(x,y)=(4,3)+t_1\big(\frac 45,\frac 35\big)}\,$ hvor $\,t_1\in\reel$
Lilleaksen: $\,\displaystyle{(x,y)=(4,3)+t_2\big(-\frac 35,\frac 45\big)}\,$ hvor $\,t_2\in\reel$
B
Plot keglesnittet og symmetriakserne med Maple/SymPy og sammenlign med et plot af niveaukurverne for polynomiet
$$f(x,y)=52x^2+73y^2-72xy-200x-150y+525\,.$$
Betragt specielt niveaukurven svarende til højden 0!
