Bestem med papir og blyant de 4 partielle afledede af de partielle afledede (dvs. de 2. ordens partielle afledede) af $\,f\,$ og $\,g\,.$
hint
$\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}}$ findes ved at differentiere $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}$ med hensyn til $y$, idet $x$ betragtes som en konstant.
Givet funktionen $\,f:\reel^2\rightarrow\reel\,$ hvor
$$f(x,y)=x^2-4x+y^2\,.$$
A
Gør rede for at $f$ er differentiabel og bestem gradienten af $f$.
Hardcore version: Løs opgaven direkte fra definitionen på differentiabilitet, se definition $19.27.$Softcore version: Benyt resultatet i sætning $19.36.$
hint
I lighed med arbejdet i gymnasiet skal vi betragte sammenhængen mellem $\Delta f$ og $\mathbf{h}$ i forbindelse med grænseovergangen $\mathbf{h}\longrightarrow\mnul$, men bemærk, at $\mathbf{h}$ nu er en vektor.
Vi konkluderer at $f$ er differentiabel i henhold til Definition 19.27 i eNote 19, og der gælder
$$\nabla f(x,y)=(f_x'(x,y),f_y'(x,y))=(2x-4,2y)$$
.
I sætning 19.36 kræves at de partielle afledede skal være kontinuerte? Hvorfor er det ikke nok at de partielle afledede eksisterer? Det skal vi undersøge gennem et konkret eksempel. Men først generaliserer vi en (fra gymnasiet) velkendt sætning om en funktion af én variabel: Hvis den er differentiabel i et punkt, så er den også kontinuert i det punkt.
B
Vis at hvis en funktion af to variable er differentiabel i et punkt $(x_0, y_o)\,,$ så er den også kontinuert i det punkt.
hint
Hvordan kan der argumenteres for at en funktion af to variable som opfylder betingelserne i definition 19.27, også opfylder betingelserne i definition 19.19?
Vis at de partielle afledede af $\,f\,$ eksisterer i $\,(0,0)\,$, men at $\,f\,$ ikke er differentiabel i dette punkt.
hint
Første del af spørgsmålet burde ikke være så svært: De to hjælpefunktioner $\,f_1(x)\,$ og $\,f_2(y)\,$ er nemlig konstante på hele $\,x$-aksen henholdsvis hele $\,y$-aksen. OK?
hint
Anden del af spørgsmålet: Vi så at hvis funktionen er differentiabel i et punkt, så er den også kontinuert i punktet. Men så må der omvendt gælde at hvis funktionen ikke er kontinuert i punktet, kan den heller ikke være differentiabel i punktet. Så du skal bare vise at $\,f\,$ ikke er kontinuert i $\,(0,0)\,!$
hint
Ud fra forskriften er $\,f(0,0)=0\,.$ Men hvad går restriktionen af $\,f\,$ til parabelbuen $\,y=x^2\,$ imod når $\,x\,$ går mod $\,0\,?$
answer
Den går mod $\frac 12\,.$ Og så er f jo ikke kontinuert i $(0,0).$ Er du med, ellers tænk det lige igennem.
Opg 3: Niveaukurver og gradienter
Vi betragter funktion $\,f:\reel^2\rightarrow\reel\,$ givet ved forskriften
$$\,f(x,y)=x^2-2y\,$$
og dens niveaukurver
$$\,f(x,y)=c\,,\,\,c\in\reel\,.$$
A
Vis at niveaukurven for et vilkårligt $\,c\,$ kan beskrives ved en ligning på formen $\,y=g_c(x)\,$ hvor $\,g_c\,$ er en reel funktion af $\,x\,,$ og tegn de niveaukurver der svarer til $\,c\in\lbrace-2,-1,0,1,2\rbrace\,.$
answer
Niveaukurverne er 5 parabler som er parallelforskudt i forhold til hinanden i $\,y$-aksen retning. Hvad er afstanden mellem dem?
B
Vis at punktet $\,P=(2,1)\,$ ligger på niveaukurven svarende til $\,c=2\,,$ og find en parameterfremstilling for denne niveaukurve.
answer
Man kan fx vælge $\,\mathbf r(u)=(u,\frac 12 u^2-1)\,,\,\,u\in\reel\,.$
C
Bestem den til parameterfremstillingen hørende tangentvektor i $\,P\,,$ og vis at tangentvektoren er ortogonal på gradienten for $\,f\,$ i $\,P\,.$
hint
Tangentvektoren får man ved først at differentiere hver af de to koordinatfunktioner i parameterfremstillingen, og dernæst at indsætte parameterværdien for det givne punkt.
D
Lav i Maple/SymPy et samlet plot af niveaukurverne og gradientvektorfeltet for $\,f\,.$
hint
Brug Maple’s contourplot og gradplot eller SymPy’s dtuplot.
Opg 4: Visualiseringer 1
Vi ser på et højdekort for et bjerg, hvor cirklerne er niveaukurver for højdefunktionen. Pilene angiver højdefunktionens gradientvektorfelt. På bjerget findes en elliptisk vandresti som på kortet er rød.
A
Forestil dig du går en tur langs den røde sti i positiv omløbsretning (mod uret). Find de punkter på stien hvor stigningen er 0 (det går hverken opad eller nedad).
hint
Der er fire steder.
answer
På en niveaukurve ændres højden selvfølgelig ikke. Derfor gælder det om at finde de steder på
stien hvor stien har fælles tangent med en niveaukurve.
B
På hvilke stykker af stien går det opad, og på hvilke nedad?
C
Følg nu en af niveaukurverne på tegningen hele vejen rundt og betragt retningen af de gradientvektorer der ligger lige i nærheden. Konklusion?
D
Dette bjerg er selvfølgelig ret specielt. Men tag igen vandrestøvlerne på, og giv et intuitivt argument for hvorfor gradientvektorerne altid, på alle bjerge, må være vinkelrette på niveaukurverne?
answer
Forslag: Hvis vi betragter niveaukurven som en sti vi spadserer ad, er turen stille og rolig. Vi går nemlig hele tiden vandret. Det forekommer naturligt at stigningen må være størst hvis vi brat ændrer retningen med 90 grader opad. Enig?
Opg 5: Gradientvektorfelt og retningsafledet
To reelle funktioner $\,f\,$ og $\,g\,$ af to reelle variable er givet ved forskrifterne
Bestem definitionsmængden for henholdsvis $\,f\,$ og $\,g\,$ og skitsér den i $\,(x,y)$-planen.
hint
Ved definitionsmængden forstås den størst mulige punktmængde i $\,\reel^2\,$ hvori forskriften for $\,f\,$ giver mening. $\,(x,y)$-planen er den geometriske repræsentation af $\,\reel^2\,.$
Brug Maple/SymPy til at tegne passende udsnit af funktionernes grafer. Og brug Maple/SymPy til at vise funktionernes gradientvektorfelter og niveaukurver. Hvorfor tegner man graferne i et $(x,y,z)$-koordinatsystem, mens gradientvektorfelter og niveaukurver tegnes i et $(x,y)$-koordinatsystem?
D
Kan man ud fra de to gradientplot afgøre om funktionerne vokser eller aftager i punktet
$P = (0,2)$ i den retning som er bestemt af vektoren $\mv = (-1,-1)$?
hint
Hvilken vej peger pilene?
answer
Ja, og i begge tilfælde aftager funktionen i den retning, som $\mv$ angiver.
E
Bestem for hver af de to funktioner den retningsafledede i punktet $P$ i den retning, som er angivet af vektoren $\mv$.
hint
Den retningsafledede findes ved skalarproduktet af gradienten taget i punktet og den normerede retningsvektor. Se definitionen på retningsafledet i eNote 19.
Udenfor dette område er landområdet i niveau med havoverfladen, altså givet ved $f(x,y)=0$ (På randen af området forestiller vi os, at bjerget har helt lodrette sider).
A
Tegn et plot af bjerg-grafen ved brug af Maple/SymPy med det ovenfor givne definitionsområde.
B
Hvad er koordinaterne for det højeste punkt, $\,B\,$, på bjerget? (Aflæs først på grafen og argumenter dernæst præcist for dit svar.)
hint
Det højeste punkt er funktionens maksimum, men hvor kan det findes?
hint
Maksimum kan findes langs randen af området eller i et stationært punkt.
hint
Ved at betragte de fire kurver langs randen af området som funktioner $\reel\rightarrow\reel$, kan eventuelle ekstremumspunkter findes ved differentiation. Der ud over skal de fire knudepnukter, områdets hjørner, også undersøges. Det punkt, der har den højeste funktionsværdi er maksimum.
answer
Ved at betragte de fire kurver langs randen af området som funktioner $\reel\rightarrow\reel$, kan eventuelle ekstremumspunkter findes ved differentiation. Der ud over skal de fire knudepnukter, områdets hjørner, også undersøges. Det punkt, der har den højeste funktionsværdi er maksimum.
$\,B=(2,0,8)\,$.
C
Vis, at det rette linjestykke med parameterfremstillingen
ligger helt indeholdt i bjerg-fladen og forbinder punktet $\,A=(0,-2,0)\,$ (ved havoverfladen) med det ovenfor fundne højest beliggende punkt, $\,B\,.$
hint
Prøv at indsætte de første to koordinatfunktioner fra $\mathbf{r}(t)$ i $f$.
hint
$f(t,-2+t)=4t$, men hvad betyder det for det stillede spørgsmål?
answer
Ved at indsætte de to første koordinatfunktioner fra $\mathbf{r}(t)$ i $\,f\,$ opnås $\,4t\,$, som netop er $\,z$-koordinaten i $\,\mathbf{r}(t)\,.$ Linjen og fladen er altså sammenfaldne i alle linjens punkter.
D
Den korteste sti på bjerget fra bjerg-punktet $\,A =(0,-2,0)\,$ (ved havoverfladen) til bjergets toppunkt $\,B\,$ er derfor det rette linjestykke. Hvorfor det?
hint
Hvilken vej er altid den korteste?
answer
Det korteste vej mellem to punkter er den rette linje mellem dem. I dette tilfælde er det sågar muligt langs med fladen at følge en ret linje mellem de to punkter.
E
Benyt Maple'scontourplot eller SymPy'sdtuplot.plot_contour til at tegne et system af niveau-kurver for funktionen $\,f\,$ i det rektangulære bjerg-område i $\,(x,y)\,$-kordinatsystemet hvor bjergfladen er defineret. Dette er da et højdekort over bjerget. Aftegn dette højdekort med f.eks. 7 niveaukurver. Indtegn dernæst på dit højdekort de to punkter, der svarer til bjergpunkterne $\,A\,$ og $\,B\,$ samt den linje i kortet der svarer til den korteste sti på bjerget fra $\,A\,$ til $\,B\,$ som vi fandt før.
F
Beregn gradienten af funktionen $\,f\,$ i eksempelvis 3 punkter langs den fundne og tegnede linje i kortet, og indtegn også de 3 gradient-vektorer på din figur.
G
Vis, at der er et og kun et punkt på kurven hvor gradienten af $\,f\,$ peger i samme retning som linjen (benyt eventuelt Maplekommandoen gradplot eller SymPykomandoen dtuplot.plot_vector).
hint
Hvor finder vi gradienten i illustrationen? Og hvordan illustreres linjens retning i den samme illustration?
hint
Vi finder gradienten sammen med niveaukurverne i $xy$-planen. Linjens retning i forhold til $xy$-planen er egentlig linjens projektion på $xy$-planen, men det er her blot retningsvektorens $x$- og $y$-koordinater $(1,1)$.
answer
Vi finder gradienten sammen med niveaukurverne i $xy$-planen. Linjens retning i forhold til $xy$-planen er egentlig linjens projektion på $xy$-planen, men det er her blot retningsvektorens $x$- og $y$-koordinater $(1,1)$. Der er kun eet punkt på linjen, hvor $,\nabla f(x,y),$ er parallel med vektoren $\,(1,1),$ det er i punktet $\,(1,-1)\,$.
H
Er det ikke i direkte modstrid med: “Man kan altså karakterisere gradienten som en vektor, der går i den retning, hvori funktionen $\,f\,$ vokser kraftigst”?
hint
I hvilken sammenhæng valgte vi formuleringen “Man kan altså karakterisere gradienten som en vektor, der går i den retning, hvori funktionen $\,f\,$ vokser kraftigst”?
