En funktion $\,f:\reel^2\rightarrow\reel\,$ er givet ved forskriften
$$\,f(x,y)=x^2+y^2\,.$$
A
Beskriv niveaukurverne givet ved $\,f(x,y)=c\,$ for værdierne $\,c \in\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace\,.$
hint
Husk cirklens ligning: $\,(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,.$
answer
Niveaukurverne er cirkler der alle har centrum i $\,(0,0)\,.$ Deres radier er henholdsvis $\,1,\,\sqrt 2,\,\sqrt 3,\,2,\,\sqrt 5\,.$
B
Bestem gradienten af $\,f\,$ i punktet $\,(1,1)\,$ og bestem den retningsafledede af $\,f\,$ i punktet $\,(1,1)\,$ i den retning der er bestemt af enhedsretningsvektoren $\,\mathbf e=(1,0)\,.$
answer
$\,\nabla f(1,1)=(2,2)\,.$ Den retningsafledede er prikproduktet af gradienten og den givne retningsvektor, det vil sige $\,2\,.$
En funktion $\,f:\reel^2\rightarrow\reel\,$ er givet ved forskriften
$$\,f(x,y)=x^2-4x+y^2\,.$$
C
Beskriv niveaukurverne givet ved $\,f(x,y)=c\,$ for værdierne $\,c \in\lbrace -3,-2,-1,0,1\rbrace\,.$
hint
Husk cirklens ligning: $\,(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,.$
answer
Vi giver resultatet for den første: Idet
$$\,x^2-4x+y^2=-3\Leftrightarrow (x-2)^2+y^2=1$$
er niveaukurven en cirkel med centrum i $\,(2,0)\,$ og radius 1. De andre niveaukurver er også cirkler med det samme centrum, men forskellige radier.
D
Bestem gradienten af $\,f\,$ i punktet $\,(1,2)\,$ og bestem den retningsafledede af $\,f\,$ i punktet $\,(1,2)\,$ i retningen mod Origo.
answer
Vi starter med gradienten:
$$\,\nabla f(1,2)=(-2,4)\,.$$
hint
Vi skal nu bruge en enhedretningsvektor der peger fra $\,(1,2)\,$ mod Origo.
hint
Vi kan bruge retningsvektoren $\,(-1,-2)\,,$ men den skal normeres det vil sige have længden 1.
answer
Den ønskede enhedsretningsvektor fås ved at dividere den foreslåede retningsvektor med dens længde, det vil sige:
Når du derefter prikker $\,\mathbf e\,$ med gradienten, får du den retningsafledede
$$\,-\frac{6}{\sqrt 5}\,.$$
Opg 2: Approksimation af første grad
For $\,(x,y)\in \reel^2\,$ betragtes funktionen
$$\,f(x,y)=\exp(-x+\sin(y))\,.$$
A
Bestem det approksimerende førstegradspolynomium for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(x,y)=(0,0)\,.$
answer
$\,P_1(x,y)=1-x+y\,.$
B
Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for $\,f\,$ i røringspunktet $\,(x,y,z)=\big(0,0,f(0,0)\big)\,.$ Og bestem en normalvektor for tangentplanen.
answer
Tangentplanen:
$$z=1-x+y\,\Leftrightarrow x-y+z=1\,.$$
Heraf kan en normalvektor umiddelbart aflæses (gymnasiestof):
$$\,\mathbf N=(1,-1,1)\,.$$
Opg 3: Beskrivelse af områder i (x,y)-planen
A
Tegn i hvert af de fire nedenstående tilfælde en skitse af den angivne punktmængde $\,A\,$, det indre $\,A^{\circ}\,$, randen $\,\partial A\,$ og afslutningen $\,\bar{A}\,$. Undersøg endvidere, om $\,A\,$ er åben, afsluttet eller ingen af delene. Angiv endelig, om $\,A\,$ er begrænset eller ikke.
Fokusér først på akserne: Hvordan er punktmængde afgrænset i $\,x\,$-aksens hhv. $y$-aksens retning?
De variable kan også være indbyrdes afhængige, men der indgår kun kurveformer, som du kender i forvejen.
answer
$\lbrace(x,y)\,\vert\, xy\neq 0\rbrace\,$ udgør den reelle talplan ($\reel^2$), men uden koordinatakserne. Dette område udgør også det indre af mængden, mens randen af mængden udgøres af koordinatakserne. Afslutningen er hele den reelle talplan. Mængden er åben og ikke begrænset.
$\lbrace(x,y)\,\vert\, 0<x<1\wedge 1\leq y\leq 3\rbrace\,$ er det rektangel, der er indsluttet af linjerne $x=0$, $x=1$, $y=1$ og $y=3$, hvor $x=0$ og $x=1$ ikke tilhører mængden, mens $y=1$ og $y=3$ tilhører mængden. Det indre af mængden er rektanglet eksklusive linjestykkerne, randen er alle fire linjestykker og afslutningen er rektanglet inklusive linjestykkerne. Mængden er hverken åben eller afsluttet, men den er begrænset.
$\lbrace(x,y)\,\vert\, y\geq x^2 \,\,\,\mathrm{og}\,\,\,y<2 \rbrace$ er fællesmængden af det område som ligger over parablen med ligningen $\,y=x^2\,$ og det område som ligger under linjen $\,y=2\,$. Bemærk at parabelstykket fra punktet $\,(- \sqrt{2},2)\,$ til punktet $\,( \sqrt{2},2)\,$ pånær endepunkterne er med i mængden, mens linjestykket fra punktet $\,(- \sqrt{2},2)\,$ til punktet $\,( \sqrt{2},2)\,$ ikke er med. Det indre af mængden er denne fællesmængde eksklusive parabelstykket fra punktet $\,(- \sqrt{2},2)\,$ til punktet $\,( \sqrt{2},2)\,.$ Randen består af dette parabelstykke og linjestykket fra punktet $\,(- \sqrt{2},2)\,$ til punktet $\,( \sqrt{2},2)\,.$ Endelig er afslutningen området inklusive linjestykket og parabelstykket. Den givne mængde er hverken åben, afsluttet eller begrænset.
$\lbrace(x,y)\,\vert\, x^2+y^2-2x+6y\leq 15 \rbrace\,$ udgør området indenfor cirklen med centrum i $(1,-3)$ og radius 5. Det indre er området eksklusive cirkelperiferien, randen er cirkelperiferien og afslutningen er området inklusive cirkelperiferien. Afslutningen er altså mængden selv. Mængden er afsluttet og begrænset.
Opg 4: En højdefunktion
Vi betragter en reel funktion af to reelle variable givet ved forskriften
$$f(x,y)=\ln(9-x^2-y^2)\,.$$
A
Bestem defintionsmængden for $\,f\,,$ og karakterisér den ved hjælp af begreber som åben, afsluttet, begrænset, ubegrænset.
answer
Logaritmen kan kun tages af positive værdier, derfor
$$9-x^2-y^2>0\Leftrightarrow x^2+y^2<3^2\,.$$
$\,Dm(f)=\lbrace(x,y)\,|\,x^2+y^2<3^2\rbrace\,.$ Det er en cirkelskive med centrum i Origo og radius 3, men hvor periferien ikke er med. Mængden er åben og begrænset.
Vi betragter nu en parametriseret kurve $\,\mathbf r\,$ i $\,(x,y)$-planen givet ved
Hvilken kurve er der tale om (du er bekendt med dens ligning!)?
answer
Det er grafen for tredjegradspolynomiet $\,y=x^3\,,\,\,x\in \left[-1.2\,,\,1.2\right]\,.$
Vi betragter nu den sammensatte funktion
$$\,h(u)=f(\mathbf r(u))\,.$$
C
Hvorfor et det rimeligt at kalde $\,h\,$ for en højdefunktion?
D
Bestem $\,h\,’(1)\,$ ved to forskellige metoder:
1) Bestem et funktionsudtryk for $\,h(u)\,$ og differentiér på sædvanlig vis.
2) Benyt Sætning $\,19.49\,$ i eNote 19: Kædereglen langs kurver.
answer
Metode 1: Vi får $\,h(u)=ln(-u^6-u^2+9)\,$ og $\,\displaystyle{h’(1)=-\frac{8}{7}}\,.$
Metode 2: Tangentvektoren bestemmes: $\,\mathbf r’(u)=(1,3\,u^2)\Rightarrow \mathbf r’(1)=(1,3)\,.$ Gradienten af $\,\nabla f(x,y)\,$ findes, hvorefter $\,\displaystyle{\nabla f(\mathbf r(1))=\nabla f(1,1)=(-\frac{2}{7},-\frac{2}{7})\,.}$ Prikproduktet af de to fundne vektorer er $\,\displaystyle{-\frac{8}{7}\,.}$
Opg 5: Opsummerende opgave
En reel funktion $f$ af to reelle variable er givet ved:
$$f(x,y)=\frac {\mathrm e^x}y\,.$$
A
Bestem definitionsmængden for $f\,$.
answer
$\,Dm(f)=\lbrace(x,y)\in\reel^2\,|\,y\neq 0\,\rbrace.$ Det vil geometrisk sige alle punkter i $\,(x,y)$-planen pånær $\,x$-aksen.
B
Udregn funktionsværdien af $f\,$ i de følgende tre punkter: $\,A(1,1),\,\,B(0,1)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,C(-1,\frac 1{\mathrm e}\,)\,.$
To ud af de tre punkter ligger på den samme niveaukurve for $\,f\,$. Beskriv denne niveaukurve.
answer
Da $\,f(B)=f(C)=1\,,$ ligger $B$ og $C$ på samme niveaukurve. Den er givet ved
Bestem gradienten af $\,f\,$ i punktet $\,(1,1\,)$, og find i dette punkt den retningsafledede af $\,f\,$ i den retning der er bestemt ved vektoren $\,\mathbf s=(1,-1)\,.$
answer
Gradienten: $\,\nabla f(1,1)=(\e,-\e)\,.$
Den retningsafledede: $f’\left(\,(1,1),\mathbf e\,\right)=\sqrt 2\,\e\,.$
For $\,u>0\,$ er der i $\,(x,y)$-planen givet den parametriserede kurve $\,\mathbf r(u)=(u,u)\,$. Endvidere er der givet den sammensatte funktion
$$\,h(u)=f\big(\mathbf r(u)\big)\,.$$
D
Bestem det punkt $\,\mathbf r(u_\texttt{o})\,$ i $\,(x,y)$-planen, for hvilket $\,h\,’(u_\texttt{o})=0\,$.
answer
Man får ved udregning $u_o=1\,.$ Derfor er det søgte kurvepunkt punktet $\mathbf r(1)=(1,1)\,.$
