Fladen $\,\mathcal S_0\,$ består af den del af enhedskuglefladen med centrum i Origo, som ligger på eller over planen med ligningen $\,\displaystyle{z=\frac 12\,.}$
B
Giv en parameterfremstilling for $\,\mathcal S_0\,$, og for den flade $\,\mathcal S_t\,$ som $\,\mathcal S_0\,$ er deformeret til, til tiden $\,t\,$, når den flyder med $\,\mV’s\,$ flowkurver. Plot $\,\mathcal S_0\,$ med Maple sammen med $\,\mathcal S_t\,$ for udvalgte værdier af $\,t\,$.
answer
For $\,\mathcal S_0\,$ bruger du bare standardparameterfremstillingen for enhedskuglen, med den tilføljelse at parameteren $\,u\,$ ikke som sædvanlig går fra 0 til $\,\pi\,,$ men kun fra 0 til $\,\pi/3\,.$
For $\,\mathcal S_t\,$:
Gør rede for at $\,\mathcal S_0\,$ ikke har fælles punkter med $\,\mathcal S_t\,$ for $\,t>0\,.$
D
Bestem en parameterfremstilling for det rumlige område $\,\Omega_t\,$ som $\,\mathcal S_t\,$ har passeret siden den forlod $\,\mathcal S_0\,$ ved tiden $\,t=0\,,$ og bestem rumfanget Vol$(t)\,$ af $\,\Omega_t\,.$
I denne opgave skal vi efterprøve Gauss’ sætning i et eksempel ved først at finde fluxen ved almindelig metode og derefter som et rumintegral af en divergens.
Bemærk, at overfladen af $\Omega$ består at to dele: En halvkugleskal og en cirkulær bundflade.
answer
Hvis Gauss har ret, fås samme facit i de to spørgsmål. Svaret er
$$8a^3\pi\,(\frac 15 a^2 - \frac 23)\,.$$
C
For hvilke $\,a\,$ er Flux($\mV,\partial\,\Omega$), med det angivne enhedsnormalvektorfelt $\,\mathbf n_{\,\partial \Omega}\,$ positiv ( ‘‘udstrømningen gennem $\partial \Omega$ større end indstrømningen’’).
answer
Fluxen er negativ for $\,0<a<\frac{\sqrt{30}}{3}\,$, ellers positiv.
D
Hvilken karakteristisk lighed er der mellem Gauss’ sætning om relationen mellem divergensintegralet og det ortogonale fladeintegral på den ene side og den fra gymnasiet kendte identitet:
$$\left[ F(x)\right] _a^b=\int_a^b F'(x)dx\,?$$
answer
Divergensen kan frit formuleret betragtes som den afledede af vektorfeltet. I begge tilfælde kan vi sige at vi har skubbet integrationen ‘‘ud på randen’’, dvs. på overfladen, henholdvis på intervallets endepunkter.
Lav kvadratkomplettering. Det er jo den sydlige halvdel af en kugleskal med centrum i $(0,0,2)$ og radius 2.
$F$ tænkes orienteres med enhedsnormalfelt med negativ $z$-koordinat. Vi ønsker at bestemme fluxen gennem $F,$ men det viser sig at være temmeligt besværligt at integrere over fladen $F\,,$ idet vektorfeltet er lidt kompliceret. På den anden side er det ikke svært at finde Div$(\mV)(x,y,z)\,,$ derfor vil vi tilpasse problemet, så det kan løses vha Gauss’ sætning. Vi begynder med at integrere divergensen af $\mV$ over den massive halvkugle $\Omega$ som udfylder $F$.
B
Beregn fluxen af $\mV$ ud gennem overfladen $\partial \Omega$ af $\Omega$, idet du beregner fluxen som
Her får du selvfølgelig brug for den sædvanlige parameterfremstilling for en massiv kugle (husk centrum). Og dens Jacobi-funktion.
hint
$\mr(u,v,w)=(u\sin(v)\cos(w), u\sin(v)\sin(w), u\cos(v)+2)\,.$
Jacobi selvfølgelig $\,u^2\sin(v)\,.$
Opstil nu integranden, og brug gerne Maple til at udregne trippelintegralet.
Men hør, halvkuglefladen er jo åben på oversiden, men vi har udregnet fluxen gennem den lukkede flade!
C
Find en parameterfremstilling af den cirkelskive, der kan dække oversiden af halvkuglen.
Vi skal finde fluxen gennem kuglefladen uden cirkelskiven…
Vi har allerede fundet fluxen gennem overfladen af den massive halvkugle.
answer
Fluxen gennem halvkuglefladen findes som fluxen gennem den massive halvkugle fratrukket fluxen gennem cirkelskiven.
Flux($\mV$,halvkugleflade)$=-\frac{64\pi}{15}\,.$
Opg 5: Coulomb-vektorfeltet
Coulomb (1736-1806) arbejdede med elektromagnetisme. Fra hans arbejde kendes det såkaldte Coulomb-vektorfelt:
hvor $\,a\,$ og $\,h\,$ er positive reelle tal. Vi vil i det følgende udregne fluxen ud gennem overfladen af $\,\Omega\,$ på to forskellige måder. Følg bare skridtene nedenfor.
A
Tegn en skitse af $\,\Omega\,$ med papir og blyant og bestem en parameterfremstilling for hver af de tre stykker som overfladen $\,\partial\Omega\,$ af $\,\Omega\,$ består af: Bunden, toppen og den rørformerede del.
B
Bestem fluxen af $\,\mV\,$ ud gennem $\,\partial\Omega\,$ ved at beregne fluxen gennem hver af de tre stykker som $\,\partial\Omega\,$ består af. Hvad betyder egentlig størrelsen af cylinderen for fluxens styrke? Og i forlængelse heraf: Hvad er grænseværdien af fluxens styrke for $\,a\,$ og $\,h\,$ gående mod 0?
C
Bestem fluxen af $\,\mV\,$ ud gennem $\,\partial\Omega\,$ ved hjælp af Gauss’ sætning. Brug gerne Maple til divergensen af $\,\mV\,.$
D
Måske finder du ud af at noget er rivravruskende galt! Hvad er mon problemet?
hint
Kig igen på Coulomb-vektorfeltet, er der noget vi har glemt ovenfor?