\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Homogene 2. ordens diff-ligninger

Håndregningsopgave.

A

Givet den homogene differentialligning \begin{equation} x’‘(t)+2x’(t)+5x(t)=0, \quad t \in \reel. \end{equation}

Find den fuldstændige løsning.

B

Givet den homogene differentialligning \begin{equation} x’‘(t)-6x’(t)+9x(t)=0, \quad t \in \reel. \end{equation}

Find den fuldstændige løsning.

C

Givet den homogene differentialligning \begin{equation} x’‘(t)+3x’(t)-4x(t)=0, \quad t \in \reel. \end{equation}

Find den fuldstændige løsning.

Opg 2: Inhomogen ligning med begyndelsesbetingelser

Maple-opgave. Givet den inhomogene differentialligning \begin{equation} x’‘(t)+4x’(t)+29x(t)=-25\sin(2t)+\frac{109}{4}\mathrm e^{-\frac 12 t}-8\cos(2t), \quad t \in \reel. \end{equation}

A

Find vha. Maple’s dsolve den fuldstændige løsning til differentialligningen.

B

Plot den løsning hvis graf går gennem punktet $(0,1)\,$, og har hældningskoefficienten $-\frac 52\,$ i $\,t=0\,$. Plot derefter den løsning hvis graf også går gennem punktet $(0,1)\,,$ men som har hældningskoefficienten $\,\frac 12\,$ i $\,t=0\,$.

Opg 3: Struktursætningen

Betragt den lineære afbildning $\,f:C^{\infty}(\reel)\rightarrow C^{\infty}(\reel)\,$ givet ved

$$ f(x(t))=x''(t)+3x'(t)-4x(t)\,. $$
A

Gæt en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning

$$ f(x(t))=29-12t $$

og opstil derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

B

Find ved gættemetode en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning

$$ f(x(t))=\cos(t) $$

og opstil derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

C

Find en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning

$$ f(x(t))=29-12t+\cos(t)$$

og opstil derefter den fuldstændige reelle løsning til ligningen.

Det oplyses at vektorsættet

$$\,v=\big(\,\cos(t),\sin(t),\e^t,t,1\,\big)\,,\,\,t\in \reel\,$$

er lineært uafhængigt (skal ikke vises her). I det følgende betragter vi restriktionen af $\,f\,$ til det 5-dimensionale underrum $\,U\,$ i $\,C^{\infty}(\reel)\,$ der har $\,v\,$ som basis.

D

Vis at billedmængden $\,f(U)\,$ er et underrum i $\,U\,,$ og bestem afbildningsmatricen $\,\matind vFv\,$ for afbildningen $f:U\rightarrow U\,$ med hensyn til basis $\,v\,.$

E

Bestem koordinatvektoren for

$$\,q(t)=\cos(t)+29-12t\,$$

og find samtlige løsninger i $\,U\,$ til ligningen

$$\,f(x(t))=q(t)\,.$$

F

Findes der i $\,U\,$ en partikulær løsning $\,x_0(t)\,$ til ligningen

$$\,f(x(t))=q(t)\,$$

som opfylder begyndelsesbetingelserne $\,x_0(0)=0\,$ og $\,x_0’(0)=1?\,$ Kommentér!

Opg 4: Modellering af fysisk situation

I ugens eMaple om differentialligninger skal du/I selv modellere en fysisk situation vha. Maple og eksperimentere med den. Fremgangsmåden er, at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!! der gennemregner hele arket på én gang. Bemærk felterne XX som du skal erstatte med din egen Maple-kommando. Når du har færdiggjort svaret på et delspørgsmål, er du velkommen til at klikke på trekanten til løsningsforslaget.

A

Download filen eMaple3 og god fornøjelse med modelleringen!

Opg 5: Entydighed af løsning. Teori

Om en differentialligning af formen \begin{equation} x’‘(t)+a_1x’(t)+a_0x(t)=q(t), \quad t \in \reel \end{equation}

bliver det påstået at $\,x_1(t)=\sin(t)\,$ og $\,x_2(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)\,$ begge er løsninger.

A

Bevis ved hjælp af eksistens- og entydighedssætningen at påstanden er forkert.

Opg 6: Struktur af løsninger. Teori

Givet den inhomogene differentialligning \begin{equation} x’‘(t)+a_1x’(t)+a_0x(t)=q(t), \quad t \in \reel. \end{equation}

samt to betingede løsninger, \begin{equation} x_1(t)=\sin t+2\e^t \quad \mathrm{og} \quad x_2(t)=\sin t+\e^t-\e^{-t}. \end{equation}

A

Bestem den fuldstændige løsning til den homogene ligning.

B

Bestem den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning.

C

Bestem $\,a_0,\,a_1\,$ og $\,q(t)\,.$

Opg 7: Kompleks gættemetode

A

Bestem en partikulær løsning til den komplekse differentialligning \begin{equation} x’‘(t)-2x’(t)-3x(t)=10\,\e^{(-1+2i)t}, \quad t \in \reel. \end{equation}

B

Bestem en partikulær løsning til differentialligningen \begin{equation} x’‘(t)-2x’(t)-3x(t)=10\,\e^{-t}\,\cos(2t), \quad t \in \reel. \end{equation}

C

Bestem en partikulær løsning til differentialligningen \begin{equation} x’‘(t)-2x’(t)-3x(t)=10\,\e^{-t}\,\sin(2t), \quad t \in \reel. \end{equation}

Opg 8: Fra fra løsning til differentialligning

Samtlige reelle løsninger til en inhomogen lineær differentialligning af 2. orden er \begin{equation} x(t)=c_1\e^{-t}\cos 2t+c_2\e^{-t}\sin 2t+5t^3+t^2+12t+7,\quad (c_1,c_2)\in\reel^2. \end{equation}

A

Opskriv differentialligningen.