\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Lineære differentialligningssystemer

A

Håndregning: Et lineært differentialligningssystem med konstante koefficienter er givet således

$$ \begin{matr}{rr} x_1'(t) \newline x_2'(t) \end{matr} = \begin{matr}{rr} 1 & 8\newline 1 & -1 \end{matr} \begin{matr}{rr} x_1(t) \newline x_2(t) \end{matr}, \quad t \in \reel $$

  1. Find systemmatricens egenværdier og tilhørende egenrum, og opstil ved hjælp heraf den fuldstændige reelle løsning på differentialligningssystemet.

  2. Find den løsning på differentialligningssystemet som opfylder $\,x_1(0)=0\,$ og $\,x_2(0)=3\,.$

B

Givet differentialligningssystemet \begin{equation} \begin{matr}{rr} x_1’(t) \newline x_2’(t) \end{matr} = \begin{matr}{rr} 2 & -5\newline 1 & -2 \end{matr} \begin{matr}{rr} x_1(t) \newline x_2(t) \end{matr}, \quad t \in \reel \end{equation}

  1. Find systemmatricens egenværdier og tilhørende egenrum, og opstil ved hjælp heraf den fuldstændige komplekse løsning på differentialligningssystemet.

  2. Opstil nu den fuldstændige reelle løsning på differentialligningssystemet.

  3. Vi skal nu finde den løsning på differentialligningssystemet som opfylder $\,x_1(0)=0\,$ og $\,x_2(0)=3\,.$ Overvej følgende: Får vi det samme resultat hvis vi finder løsningen ved hjælp af den fuldstændige komplekse løsning som ved hjælp af den fuldstændige reelle løsning?

C

Givet differentialligningssystemet \begin{equation} \begin{matr}{rr} x_1’(t) \newline x_2’(t) \end{matr} = \begin{matr}{rr} 2 & 1\newline -4 & -2 \end{matr} \begin{matr}{rr} x_1(t) \newline x_2(t) \end{matr}, \quad t \in \reel \end{equation}

  1. Find systemmatricens egenværdier og tilhørende egenrum, og opstil ved hjælp heraf den fuldstændige reelle løsning på differentialligningssystemet.

  2. Find den løsning på differentialligningssystemet som opfylder $\,x_1(0)=0\,$ og $\,x_2(0)=3\,.$

Opg 2: Homogent lineært differentialligningssystem

Et homogent lineært differentialligningssystem bestående af tre ligninger med tre ukendte funktioner $\,x_1(t),x_2(t)\,$ og $\,x_3(t)\,$ (med $t\in\reel$) har systemmatricen $\mA$ som har været behandlet i Maple/SymPy således: \
\\Maple:

3system.png

SymPy:

A=Matrix([[1,1,3],[1,3,1],[3,1,1]])

A.eigenvects()

$$\quad\left[ \left( 2,1,\left[ \left[ \begin{array}{c} 1 \newline -2 \newline 1 \end{array}\right] \right] \right),\left( 5,1,\left[ \left[ \begin{array}{c} 1 \newline 1 \newline 1 \end{array}\right] \right] \right),\left( -2,1,\left[ \left[ \begin{array}{c} -1 \newline 0 \newline 1 \end{array}\right] \right]\right) \right] $$
A

Hvordan ser de tre differentialligninger ud på sædvanlig vis (ikke matrixform).

B

Opskriv den fuldstændige reelle løsning på både vektorform og på sædvanlig vis.

Opg 3: Struktursætning. Teori

Lad $\,C^{\infty}(\Bbb R,\Bbb C))\,$ betegne funktionsvektorrummet af uendeligt mange gange differentiable komplekse funktioner af reel variabel med $\,\Bbb C\,$ som tilhørende skalar-legeme. For $\,t\in \reel\,$ er funktionerne $\,\cos(t),\,\e^{2it}\,$ og $\,t^3\,$ eksempler på vektorer i vektorrummet. Vi betragter nu afbildningen $\,f:(C^{\infty}(\Bbb R, \Bbb C))^2\rightarrow (C^{\infty}(\Bbb R,\Bbb C))^2\,$ givet ved

$$ f(\mx(t))=\mx'(t)-\,\mA\mx(t)\,,\,\,\,t \in \reel\,$$

hvor $\,\mA\,$ er en reel $2\times2$-matrix, $\,\mx(t)=(x_1(t),x_2(t))\,$ og $\,\mx’(t)=(x_1’(t),x_2’(t))\,.$

A

Vis at $\,f\,$ er lineær.

B

Gør rede for at differentialligningssystemer som dem der bliver behandlet i dagens opgave 1, kan betragtes som homogene vektorligninger af typen

$$\,f(\mx(t))=\mnul\,.$$

C

Hvordan kan struktursætningen bringes i anvendelse på vektorligninger af typen

$$\,f(\mx(t))=\mathbf q(t)\,$$

hvor $\,\mathbf q(t)\in (C^{\infty}(\Bbb R,\Bbb C))^2\,.$ Giv en præcis formulering.

Opg 4: Struktursætning. Håndregning

A

Find den fuldstændige løsning differentialligningssystemet \begin{equation} \begin{matr}{rr} x_1’(t) \newline x_2’(t) \end{matr} = \begin{matr}{rr} 1 & 1\newline 0 & -2 \end{matr}\cdot \begin{matr}{rr} x_1(t) \newline x_2(t) \end{matr}\,\,,\quad t\in \reel\,. \end{equation}

B

Gæt en løsning på differentialligningssystemet \begin{equation} \begin{matr}{rr} x_1’(t) \newline x_2’(t) \end{matr} = \begin{matr}{rr} 1 & 1\newline 0 & -2 \end{matr}\cdot \begin{matr}{rr} x_1(t) \newline x_2(t) \end{matr}+\begin{matr}{rr} 0\newline -2t \end{matr}, \quad t\in \reel \end{equation}

og opstil derefter den fuldstændige reelle løsning til differentialligningssystemet.

Opg 5: Struktursætning. Maple/SymPy

Et lineært differentialligningssystem er givet ved

$$ \begin{align*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x_1(t)&=\frac 12x_1(t)-x_2(t)+\cos(4t)\newline \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x_2(t)&=\frac 32x_1(t)-2x_2(t)-1 \end{align*} $$
A

Opskriv differentialligningssystemet på matrixform (som i spørgsmål b i forrige opgave). Find egenvektorerne og tilhørende egenværdi for systemmatricen.

B

Find med Maple/SymPy’s dsolve den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet. Hvordan kan løsningen fortolkes, dels i lyset af egenvektorværdier og egenvektorer for systemmatricen, dels i lyset af struktursætningen?

C

Plot den løsning som opfylder $\,x_1(0)=10\,$ og $\,x_2(0)=5\,,$ først for $\,t\in \left[\,0,10\,\right]\,$ dernæst for $\,t\in \left[\,10,20\,\right]\,$ og kommentér resultatet.

Opg 6: Eksistens og entydighed. Teori.

Vi ser igen på det følgende differentialligningssystem fra opgave 1:

$$ \begin{matr}{rr} x_1'(t) \newline x_2'(t) \end{matr} = \begin{matr}{rr} 1 & 8\newline 1 & -1 \end{matr} \begin{matr}{rr} x_1(t) \newline x_2(t) \end{matr}, \quad t \in \reel. $$
A

Gør rede for, at der til ethvert talsæt $(t_0,a_0,b_0)$ eksisterer netop én løsning $(x_1(t),x_2(t))$ til differentialligningssystemet således, at $x_1(t_0)=a_0$ og $x_2(t_0)=b_0$.

B

Givet et vilkårligt talsæt $\,(t_0,a_0,b_0)\,$. Overvej om der altid for differentialligningssystemer af de typer der er betragtet i opgaven ovenfor, eksisterer netop én løsning $\,(x_1(t),x_2(t))\,$ til differentialligningssystemet således, at $x_1(t_0)=a_0$ og $x_2(t_0)=b_0$.