\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Længder og vinkler i $\,\reel^n\,$

Håndregningsopgave. I vektorrummet $\,\reel^5\,$ (udstyret med det sædvanlige skalarprodukt) er der givet vektorerne

$$\ma=(-2,0,2,2,-2)\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\mb=(1,2,-1,-1,1)\,.$$
A

Bestem længden af de to vektorer og vinklen imellem dem.

For to egentlige, ikke parallelle vektorer $\,\ma\,$ og $\,\mb\,$ gælder at vektoren

$$\,\mathbf u=\mb -\mathrm{proj(\mb,\ma})\,$$

er ortogonal (vinkelret) på $\,\ma\,,$ hvilket på figuren er vist for vektorer i planen.

B

Bestem for de givne vektorer $\,\ma\,$ og $\,\mb\,$ i $\,\reel^5\,$ vektoren

$$\,\mathbf u=\mb -\mathrm{proj(\mb,\ma})\,,$$

og eftervis at den er ortogonal på $\,\ma\,.$

Opg 2: Ortonormal basis. Håndregning

A

Udgør vektorerne

$$\mv_1=\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) \quad \mv_2=\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)\quad \mv_3=\left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$$

en ortonormal basis i $\,\reel^3\,?$

B

Opstil en ortonormal basis i $\,\reel^3\,$ hvori $\,\,\displaystyle{(\frac {\sqrt 2}2,\frac {\sqrt 2}2,0)}\,\,$ er den første basisvektor.

Opg 3: Ortonormalisering. Håndregning

A

Bestem Løsningsmængden for den homogene ligning

$$x_1+x_2+x_3=0$$

og gør rede for at den (naturligvis) er et underrum i $\,\reel^3\,.$ Find en ortonormal basis for dette løsningsrum.

Opg 4: Ortogonal matrix. Håndregning

A

Er nedenstående matricer ortogonale?

$$\mA=\begin{matr}{rr} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \newline -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matr},$$
$$\mB=\begin{matr}{rr} \frac{1}{2} & 0 \newline 0 & 2 \end{matr},$$
$$\mC=\frac{1}{5}\begin{matr}{rr} 3 & -4 \newline 4 & 3 \end{matr},$$
$$ \mD=\frac{1}{2}\begin{matr}{rrrr} 1 & -1 & 1 & 1 \newline 1 & 1 & -1 & 1 \newline 1 & -1 & -1 & -1 \newline 1 & 1 & 1 & -1 \newline \end{matr}. $$

Opg 5: Ortogonal matrix. Håndregning

Givet matricen

$$ \mA=\begin{matr}{rrrr} 0 & -a & 0 & a \newline a & 0 & a & 0 \newline 0 & -a & 0 & -a \newline -a & 0 & a & 0 \end{matr} $$
A

Bestem de værdier af $a$, for hvilke $\mA$ er ortogonal.

B

For hvilke værdier af $a$ er $\mA$ positiv ortogonal.

Opg 6: Symmetrisk matrix. Teoriopgave

Givet matricen

$$\mA=\begin{matr}{rr} a & c \newline c & b \end{matr}\,$$

hvor $\,a,\,b$ og $c\,$ er reelle tal. Bemærk, at $\,\mA=\mA^{\transp}\,$, så $\,\mA\,$ er symmetrisk.

A

Vis, at $\,\mA$’s egenværdier er reelle.

B

Vis i forlængelse heraf: Hvis $\,\mA\,$ ikke er en diagonalmatrix, så har den to forskellige (reelle) egenværdier.

Opg 7: Diagonalisering ved ortogonal subsitution

Givet den symmetriske matrix

$$ \mA=\begin{matr}{rrr} -2 & 1 & 1 \newline 1 & -2 & -1 \newline 1 & -1 & -2 \end{matr}. $$
A

Angiv en ortogonal matrix $\,\mathbf{Q}\,$ og en diagonalmatrix $\,\mathbf{\Lambda}\,$ så

$$\,\mathbf{Q}\transp \cdot\mA\cdot\mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda}\,.$$

Opg 8: Særlig ortogonal matrix

Givet matricerne

$$\mA=\begin{matr}{rrr} 1 & -1 & 2 \newline -1 & 1 & 2 \newline 2 & 2 & -2 \end{matr}\quad\mathrm{og}\quad\mB=\begin{matr}{rrr} 2 & -1 & -1 \newline -1 & 2 & -1 \newline -1 & -1 & 2 \end{matr}.$$
A

Vis, at det karakteristiske polynomium for $\,\mA\,$ har en enkeltrod -4 og en dobbeltrod.

B

Bestem en egentlig egenvektor $\,\mv_1\,$ for $\,\mA\,$ hørende til enkeltroden -4.

C

Vis, at det karakteristiske polynomium for $\,\mB\,$ også har en enkeltrod 0 og en dobbeltrod.

D

Bestem en egentlig egenvektor $\,\mv_2\,$ for $\,\mB\,$ hørende til enkeltroden 0.

E

Vis, at $\,\mv_1\cdot\mv_2=\mnul\,.$

F

Bestem under anvendelse af ovenstående resultater en ortogonal matrix $\,\mathbf Q\,$ der kan diagonalisere både $\,\mA\,$ og $\,\mB\,$ ved ortogonal subsitution. Angiv resultaterne af såvel $\,\mathbf Q\transp\cdot\mA\cdot\mathbf Q\,$ som $\,\mathbf Q\transp\cdot\mB\cdot\mathbf Q\,.$

Opg 9: Et underrum i $\,\reel^4\,$ og dets ortogonale komplement

I $\,\reel^4\,$ være givet vektorerne

$$\mv_1=(1,1,1,1),\,\mv_2=(3,1,1,3),\,\mv_3=(2,0,-2,4)\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\mv_4=(1,1,-1,3),.$$

Et underrum $\,\mathbf U\,$ i $\,\reel^4\,$ er bestemt ved $\,\mathbf U=\mathrm{span}\lbrace\mv_1,\mv_2,\mv_3,\mv_4\rbrace\,.$

A

Vis, at $\,(\mv_1,\mv_2,\mv_3)\,$ er en basis for $\,\mathbf U\,,$ og find koordinatvektoren for $\,\mv_4\,$ med hensyn til denne basis.

B

Angiv en ortonormal basis for $\,\mathbf U\,.$

C

Bestem det ortogonale komplement i $\,\reel^4\,$ til $\,\mathbf U\,.$