\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Panserformlen. Håndregning

Givet den inhomogene differentialligning

\begin{equation} x’(t)-2x(t)=\e^t\,, \,\, t \in \reel\,\end{equation}

A

Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.

B

Find den løsning, hvis graf indeholder punktet $(0,1)$.

Givet den inhomogene differentialligning \begin{equation} x’(t)+\frac{1}{t}x(t)=-2t^2, \quad t>0.\end{equation}

C

Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.

D

Find den løsning som opfylder begyndelsesværdibetingelsen $ x(1)=-1 $.

Info: De løsningsmetoder der er udviklet i eNote 16, gælder uændrede hvis de to kontinuerte reelle funktioner $\,p\,$ og $\,q\,$ som indgår i standardformen for 1. ordens lineære differentialligninger, erstattes af kontinuerte komplekse funktioner af en reel variabel. Det vi da søger, er mængden af komplekse funktioner af en reel variabel, der opfylder differentialligningen.

For et vilkårligt komplekst tal $\,w\neq 0\,$ betragtes differentialligningen

$$ z'(t)-w\cdot z(t)=2\,,\,\,t\in \reel\,. $$
E

Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.

F

Bestem for $\,w=i-1\,$ den løsning $\,z(t)\,$ som opfylder begyndelsesværdibetingelsen $\,z(0)=i\,.$

Opg 2: Struktursætningen

I denne opgave udnyttes viden om lineære afbildninger til at løse tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger. I hvert eksempel går vi trinvist frem.

A

En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved

$$\,f(x(t))= x'(t)\,.$$

Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Angiv en løsning til ligningen $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

B

En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved

$$\,f(x(t))= x'(t)-x(t)\,.$$

Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løsning til ligningen $\,f(x(t))= 5\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

C

En 1. ordens differentialligning er givet ved

$$x'(t)+2x(t)=2t\,.$$

Vis at differentialligningen er lineær. Gæt en partikulær løsning til differentialligningen, og angiv derefter den fuldstændige løsning til differentialligningen.

D

Angiv i sædvanlig Leibniz notation de tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger der er løst ovenfor.

Opg 3: Panserformel eller struktursætning?

Givet differentialligningen

$$\,\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\,x(t)+\cos(t)\cdot x(t)=\cos(t)}\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
A

Løs differentialligningen ved hjælp af panserformlen.

B

Løs differentialligningen ved hjælp af struktursætningen.

Opg 4: Superposition

Opgaven ønskes løst med brug af struktursætningen og superposition.

A

Gæt en løsning til differentialligningen \begin{equation} x’(t)+x(t)=2\cos t\,,\,\,t\in\Bbb R. \end{equation}

B

Gæt en løsning til differentialligningen \begin{equation} x’(t)+x(t)=t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R. \end{equation}

C

Løs differentialligningen

$$ x'(t)+x(t)=2\cos t +t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.$$

Opg 5: Førsteordens differentialligning med Maple

Givet den inhomogene differentialligning

$$ x'(t)+\frac{1}{7}\,x(t)=3-2\cos(t). $$
A

Find ved hjælp af Maple den fuldstændige løsning til differentialligningen.

B

Find igen ved hjælp af Maple den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen $ x(0)=0 $.

C

Plot din løsning, evt. med forskellige begyndelsesbetingelser.

Opg 6: Modellering af fysisk problem

Vi introducerer hermed en interaktiv opgavetype kaldet eMaple. Meningen er at du/I selv helt fra bunden skal modellere en fysisk situation vha. Maple og eksperimentere med modellen.

Fremgangsmåden er at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!! der gennemregner hele arket på én gang. Efter du har færdiggjort svaret på et delspørgsmål, er du velkommen til at klikke på løsningsforslaget.

A

Download nu filen eMaple1

Opg 7: Komplekse differentialligninger. Håndregning

De komplekse funktioner $\,z(t)\,$ som er defineret for $\,t \in \reel\,,$ og som kan differentieres et vilkårligt antal gange, udgør et vektorrum som betegnes $\,\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\,.$

En lineær afbildning $\,f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved

$$f(z(t))= z''(t) + z(t)\,.$$
A

Gør rede for at $\,U=\mathrm{span}\left{\e^{it},\e^{-it}\right}\,$ er et 2-dimensionalt underrum i $\,\ker(f)\,.$

B

Vis at der findes netop én funktion $\,z_0(t)\,$ i $\,U=\mathrm{span}\left{\e^{it},\e^{-it}\right}$ som opfylder begyndelsesværdibetingelserne $\,z(0)=1\,$ og $\,z’(0)=0\,,$ og opskriv den på rektangulær form.

Opg 8: Lineær afbildning på funktionsrum

Lad $\,U\,$ være det underrum af $\,C^\infty (\reel)\,$ som er udspændt af vektorerne $\,\cos t$, $\sin t$ og $\e^t\,.$

A

Vis, at $\,\cos t$, $\sin t$ og $\e^t\,$ udgør en basis for $\,U\,$

En lineær afbildning $\,f:U \rightarrow C^\infty (\reel)\,$ er givet ved:

$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$
B

Vis, at $f$ afbilder $\,U\,$ ind i sig selv.

C

Angiv afbildningsmatricen for $\,f:U\rightarrow U\,$ med hensyn til basis $\,(\cos t, \sin t, \e^t)\,.$

D

Brug den fundne afbildningsmatrix til inden for $\,U\,$ at bestemme samtlige løsninger til differentialligningen

$$x'(t)+2x(t)=-\sin(t)+3\e^t\,,\,\,t\in \reel\,.$$

Opg 9: Lineære og ulineære differentialligninger

Betragt for $\,t\in \reel\,$ følgende syv 1. ordens differentialligninger:

$$\begin{array}{l} 1.\,\, x'(t)+t \cdot x(t) \cdot (1+x(t))=0 \newline 2.\,\, x'(t)+t^2 \cdot x(t)=0 \newline 3.\,\, x'(t)+x(t)=t^2\newline 4.\,\, x'(t)+(x(t))^2=t\newline 5.\,\, x'(t)+t^3 \cdot x(t)=0\newline 6.\,\, x'(t)+\e^{x(t)}=1\newline 7.\,\, (x'(t))^2+x(t)=0 \end{array}$$
A

Tre af ligningerne er lineære, hvilke?

B

Løs de tre lineære ligninger, idet du kun anvender Maple til simuleret håndregning.

C

Find ved hjælp af Maple mindst én løsning til hver af de syv differentialligninger.

D

Eksperimentér med løsningerne: Plot dem med forskellige valg af den arbitrære konstant $c$.