Find den løsning som opfylder begyndelsesværdibetingelsen $ x(1)=-1 $.
answer
$x(t)=-\frac{t^3}{2}-\frac{1}{2t}.$
Info: De løsningsmetoder der er udviklet i eNote 16, gælder uændrede hvis de to kontinuerte reelle funktioner $\,p\,$ og $\,q\,$ som indgår i standardformen for 1. ordens lineære differentialligninger, erstattes af kontinuerte komplekse funktioner af en reel variabel. Det vi da søger, er mængden af komplekse funktioner af en reel variabel, der opfylder differentialligningen.
For et vilkårligt komplekst tal $\,w\neq 0\,$ betragtes differentialligningen
$$ z'(t)-w\cdot z(t)=2\,,\,\,t\in \reel\,. $$
E
Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Du får nok brug for Sætning 1.66 og måske også regnereglerne i Sætning 1.63 i eNote 1.
answer
$z(t)=-\frac 2w + c\,\e^{wt}\,$ hvor $\,c\in \Bbb C\,.$
F
Bestem for $\,w=i-1\,$ den løsning $\,z(t)\,$ som opfylder begyndelsesværdibetingelsen $\,z(0)=i\,.$
answer
$z(t)=1+i-\e^{(i-1)t}\,.$
Opg 2: Struktursætningen
I denne opgave udnyttes viden om lineære afbildninger til at løse tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger. I hvert eksempel går vi trinvist frem.
A
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved
$$\,f(x(t))= x'(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Angiv en løsning til ligningen $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Lineariteten følger af kendte regler for differentialkvotient, hvilke?
hint
Gymnasieviden: Hvilke funktioner opfylder, at deres differentialkvotient er konstant 0?
hint
Angiv en funktion hvis differentialkvotient er lig med $\sin( t)\,.$
answer
$\ker(f)$ er alle funktioner af typen: $x(t)=k\,.$
$x_0(t)=-\cos(t)$ er som bekendt en stamfunktion til $\sin(t)\,.$
Den fuldstændige løsning på $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ er ifølge struktursætningen funktionerne
$$x(t)=-\cos( t)+k\,,\,\,t \in \reel\,$$
hvor $k$ er et vilkårligt reelt tal.
B
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved
$$\,f(x(t))= x'(t)-x(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løsning til ligningen $\,f(x(t))= 5\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Glemt reglerne for lineær afbildning? Så se Definition 12.5 i eNote 12.
hint
Gymnasieviden: Hvilke funktioner opfylder, at deres differentialkvotient er lig med funktionen selv?
$\ker(f)$ er alle funktioner af typen: $x(t)=k\e^t\,.$
$x_0(t)=-5$ er en løsning.
Den fuldstændige løsning i følge struktursætningen funktionerne
$$x(t)=-5+k\e^t\,,\,\,t \in \reel\,$$
hvor $k$ er et vilkårligt reelt tal.
C
En 1. ordens differentialligning er givet ved
$$x'(t)+2x(t)=2t\,.$$
Vis at differentialligningen er lineær. Gæt en partikulær løsning til differentialligningen, og angiv derefter den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Med hensyn til lineariteten: Er den på standardform for 1. ordens lineære differentialligninger, se definition 16.1 og Eksempel 16.2 i eNote 16.
Kernen (det samme som $\,L_{hom}$) bør igen kunne graves frem af gymnasieviden.
answer
Den fuldstændige løsning ifølge struktursætningen funktionerne
$x_0(t)=1$ er en (partikulær) løsning til L$_{\mathrm{inhom}}\,.$
Derfor ifølge struktursætningen: L$_{\mathrm{inhom}}=1+c\cdot\e^{-\sin(t)}\,,\,\,c\in\Bbb R\,.$
Opg 4: Superposition
Opgaven ønskes løst med brug af struktursætningen og superposition.
A
Gæt en løsning til differentialligningen
\begin{equation}
x’(t)+x(t)=2\cos t\,,\,\,t\in\Bbb R.
\end{equation}
hint
Findes der en løsning til ligningen af formen $x(t)=a \cdot \cos t +b \cdot \sin t$?
hint
Indsæt $\,x(t)=a \cdot \cos t+b \cdot \sin t\,$ i differentialligningens venstreside og find ud af hvad $a$ og $b$ skal være.
answer
$x(t)= \cos t+ \sin t$
B
Gæt en løsning til differentialligningen
\begin{equation}
x’(t)+x(t)=t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.
\end{equation}
hint
Indsæt $\,x(t)=at^2+bt+c\,$ i differentialligningens venstreside og find ud af hvad $a,$$b$ og $c$ skal være.
answer
$x(t)=t^2-2t+1\,.$
C
Løs differentialligningen
$$
x'(t)+x(t)=2\cos t +t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
answer
$x(t)=c\e^{-t}+\cos t+\sin t+t^2-2t+1\,$ hvor $c$ er et vilkårligt reelt tal og $t$ en reel variabel.
Opg 5: Førsteordens differentialligning med Maple/SymPy
Givet den inhomogene differentialligning
$$ x'(t)+\frac{1}{7}\,x(t)=3-2\cos(t). $$
A
Find ved hjælp af Maple/SymPy den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Vink til dette og de øvrige spørgsmål i denne opgave: Se dagens Maple/SymPy-Demo basic.
B
Find igen ved hjælp af Maple/SymPy den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen $ x(0)=0 $.
C
Plot din løsning, evt. med forskellige begyndelsesbetingelser.
Opg 6: Modellering af fysisk problem
Vi introducerer hermed en interaktiv opgavetype kaldet eMaple/eSymPy. Meningen er at du/I selv helt fra bunden skal modellere en fysisk situation vha. Maple/SymPy og eksperimentere med modellen.
Fremgangsmåden er at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!!
De komplekse funktioner $\,z(t)\,$ som er defineret for $\,t \in \reel\,,$ og som kan differentieres et vilkårligt antal gange, udgør et vektorrum som betegnes $\,\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\,.$
En lineær afbildning $\,f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved
$$f(z(t))= z''(t) + z(t)\,.$$
A
Gør rede for at $\,U=\mathrm{span}\lbrace\e^{it},\e^{-it}\rbrace \,$ er et 2-dimensionalt underrum i $\,\ker(f)\,.$
hint
Vis at $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ begge tilhører kernen, og at de er lineært uafhængige.
hint
Lineært uafhængige: Vis at
$$\,k_1\e^{it}+k_2\e^{-it}=0\,$$
kun er opfyldt for alle $\,t\,$ hvis $\,k_1=k_2=0\,.$ Skal fx gælde for $\,t=0\,$ og $\,\displaystyle{t=\frac{\pi}2}\,.$
answer
Kernen er (som alle kerner) et underrum i definitionsrummet. Da $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ tilhører kernen, må enhver linearkombinationen af dem derfor tilhøre kernen. Da en udspænding altid er et underrum, og da $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ er lineært uafhængige, må $U$ være et 2-dimensionalt underrum i kernen. (Faktisk udspænder $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ hele kernen, det har vi dog ikke endnu teori nok til at vise).
B
Vis at der findes netop én funktion $\,z_0(t)\,$ i $\,U=\mathrm{span}\lbrace\e^{it},\e^{-it}\rbrace$ som opfylder begyndelsesværdibetingelserne $\,z(0)=1\,$ og $\,z’(0)=0\,,$ og opskriv den på rektangulær form.
answer
$$z_0(t)=\cos(t)\,.$$
Opg 8: Lineær afbildning på funktionsrum
Lad $\,U\,$ være det underrum af $\,C^\infty (\reel)\,$ som er udspændt af vektorerne $\,\cos t$, $\sin t$ og $\e^t\,.$
A
Vis, at $\,\cos t$, $\sin t$ og $\e^t\,$ udgør en basis for $\,U\,$
hint
$\,U\,$ er givet som det underrum, der udspændes af $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$, så vi skal blot vise, at de tre vektorer er lineært uafhængige.
hint
Når vi skal vise, at tre vektorer, $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$ og $\mathbf{u}_3$ er lineært uafhængige, gøres det lettest ved at vise, at en linearkombination af vektorerne kun kan blive nul, hvis alle koefficienterne er 0, se Sætning 11.17 i eNote 11.
hint
Kan ligningen $k_1\cdot\mathbf{u}_1+k_2\cdot\mathbf{u}_2+k_3\cdot\mathbf{u}_3=0\Leftrightarrow k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ have andre løsninger end nulløsningen?
hint
En løsning til ligningen $k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ skal være gyldig for alle $t$. Prøv nu at sætte $t=0$, $t=\frac{\pi}{2}$ og $t=\pi$ og indsæt disse værdier i ligningen.
hint
Du får nu følgende tre homogene lineære ligninger:
\begin{equation}
\begin{aligned}
k_1\cdot 1+k_2\cdot 0+k_3\cdot 1&=0 \newline
k_1\cdot 0+k_2\cdot 1+k_3\cdot \e^\frac{\pi}{2}&=0\newline
k_1\cdot (-1)+k_2\cdot 0+k_3\cdot \e^\pi &=0.
\end{aligned}
\end{equation}
Løs dette ligningssystem.
hint
Opstil først ligningssystemets totalmatrix. Har den fuld rang?
answer
Ligningen $k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ er kun tilfredsstillet for alle $t$, hvis $k_1=k_2=k_3=0$. De tre vektorer $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$ er altså lineært uafhængige og da de udspænder $U$, kan de udgøre en basis for $U$.
En lineær afbildning $\,f:U \rightarrow C^\infty (\reel)\,$ er givet ved:
$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$
B
Vis, at $f$ afbilder $\,U\,$ ind i sig selv.
hint
At $f$ afbilder $\,U\,$ ind i sig selv betyder blot, at billedrummet $\,f(U)\subseteq U\,.$
hint
Vi skal derfor bestemme $f(U)$ og vise, at $f(U)\subseteq U$.
hint
Da $f$ er lineær, er $f(U)=\spanVec {f(\cos t), f(\sin t), f(\e^t)}$.
hint
Udregn billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)$, $f(\sin t)$ og $f(\e^t)$ og vis, at de alle tilhører $U$.
answer
Billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)=2\cos t -\sin t + 0\cdot\e^t$, $f(\sin t)=\cos t + 2\sin t + 0\cdot\e^t$ og $f(\e^t)=0\cdot\cos t + 0\cdot\sin t + 3e^t$ tilhører alle $U$, så $f$ afbilder $U$ ind i sig selv.
C
Angiv afbildningsmatricen for $\,f:U\rightarrow U\,$ med hensyn til basis $\,(\cos t, \sin t, \e^t)\,.$
hint
Afbildningsmatricen består af billederne af de tre basisvektorer udtrykt som vektorer i forhold til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$.
hint
Hvordan ser billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)=2\cos t -\sin t + 0\cdot\e^t$, $f(\sin t)=\cos t + 2\sin t + 0\cdot\e^t$ og $f(\e^t)=0\cdot\cos t + 0\cdot\sin t + 3e^t$ ud, hvis du udtrykker dem i forhold til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$?
hint
Du skal blot opstille billedernes koefficienter i talvektorer og samle dem i en afbildningsmatrix.
