Afgør uden flere beregninger om vektoren $\,\mb=(2,9,-5)\,$ tilhører billedrummet $f(\reel^4)$.
answer
Vi så ovenfor at $\,f(\mathbf u_1)=\mb\,,$ hvilket jo netop viser at $\,\mb\,$ er en billedvektor (billedet af $\,\mathbf u_1\,$ ved afbildningen $\,f\,$).
C
Find dimensionen af billedrummet $f(\reel^4)$.
hint
Billedrummet er udspændt af søjlevektorerne i $\,\mF\,.$ Derfor er rangen af afbildningsmatricen afgørende.
answer
Rangen af afbildningsmatricen = dimensionen af billedrummet = 2.
D
Find uden flere beregninger dimensionen af ker$(f)\,.$
hint
Brug Dimenssionssætningen 12.24 i eNote 24.
answer
$\dim (\ker f)=\dim(\reel^4)-\rho (\mF)=4-2=2$.
E
Angiv uden flere beregninger en basis for $\ker(f)$.
hint
Kig for eksempel på resultatet i spørgsmål a).
answer
Da dimensionen af kernen er 2, skal der skaffes to lineært uafhængige vektorer i kernen. Da $\mathbf{u}_2$ og $\mathbf{u}_3$ tilhører kernen og klart er lineært uafhængige, er $\,(\mathbf{u}_2\,,\,\mathbf{u}_3)\,$ en basis for kernen.
F
Angiv uden flere beregninger en basis for $\,f(\reel^4)\,.$
answer
Da dimensionen af kernen er 2, skal der skaffes to lineært uafhængige i billedrummet. Da billedrummet er udspændt af søjlerne i afbildningsmatricen kan vi bruge to søjler som er lineært uafhængige, for eksempel de to første. En basis for billedrummet er $\,(\,(1,3,-1)\,,\,(1,0,2)\,)\,.$
G
Angiv uden flere beregninger løsningen på vektorligningen
Aflæs en basis for ker$(f)\,$ og angiv dimensionen af billedrummet $f(\reel^3)$.
hint
At finde kernen er at løse et homogent ligningssystem. Løsningen har vi sådan set allerede med $\mathrm{trap}(\mF)\,$ hvor højresiden med lutter 0’er blot har været udeladt!
hint
Fra $\mathrm{trap}(\mF)\,$ aflæser vi $\,v_1=-3v_3\,$ og $\,v_2=-v_3\,\,.$
hint
Opskrevet på standardparameterform er kernen givet ved:
Vektoren $\,(-3,-1,1)\,$ er en basis for kernen. Dim$(\,f(\reel ^3)\,)=2\,.$
B
Kan vi også bestemme en basis for billedrummet?
answer
Ikke i dette tilfælde da vi ikke kender afbildningsmatricen, men kun dens trappeform.
Opg 3: Ny afbildningsmatrix ved basisskifte
Hvis man skifter basis, kan man ofte finde en afbildningsmatrix som er enklere og derfor nemmere at arbejde med. Det skal vi se et eksempel på her hvor vi først starter med nogle øvelser i basisskifte.
I vektorrummet $\,\reel^2\,$ betragtes standardbasen $\,e=(\,(1,0),(0,1)\,)\,.$ En ny basis $\,a=(\ma_1,\ma_2)\,$ for $\,\reel ^2\,$ er bestemt ved
Opstil basisskiftematricen $\,\matind eMa\,$ der skifter fra $a$-koordinater til $e$-koordinater. En vektor $\,\mv\,$ har med hensyn til basis $a$ koordinatmatricen $\,\vekind av= \begin{matr}{r} -1 \newline 1 \end{matr}\,.$ Bestem koordinatmatricen for $\,\mv\,$ med hensyn til basis $e\,.$
answer
Vi aflæser $\matind eMa=\begin{matr}{rr} 1 & 3 \newline 2 & 7 \end{matr}\,.$ Og herfra får vi $\,\vekind ev= \begin{matr}{rr} 1 & 3 \newline 2 & 7 \end{matr}\cdot \begin{matr}{r} -1 \newline 1 \end{matr}=\begin{matr}{r} 2 \newline 5 \end{matr}\,.$
B
Opstil basisskiftematricen $\,\matind aMe\,$ der skifter fra $e$-koordinater til $a$-koordinater. En vektor $\,\mv\,$ har med hensyn til basis $e$ koordinatmatricen $\,\vekind ev= \begin{matr}{r} 2 \newline 3 \end{matr}\,.$ Bestem koordinatmatricen for $\,\mv\,$ med hensyn til basis $a\,.$
Bestem afbildningsmatricen for $f$ med hensyn til basis $a\,.$
hint
Hvordan kan du bygge $\matind aFa$ op ud fra $\matind eFe\,?$
hint
$\matind aFa$ arbejder i modsætning til $\matind eFe\,$ med $\,a$-koordinater i input og output. Derfor er vi nødt til at forsyne $\matind eFe\,$ med basisskiftematricer både for og bag.
NB: Afbildningsmatricen er med hensyn til den nye basis en simpel øvre trekantmatrix med lutter 1-taller.
D
En vektor $\,\mv\,$ har med hensyn til basis $a$ koordinatmatricen $\,\vekind av= \begin{matr}{r} m \newline n \end{matr}\,.$ Bestem koordinatmatricen for $\,f(\mv)\,$ med hensyn til basis $a\,.$
answer
$$\,\begin{matr}{r} m+n \newline n \end{matr}\,.$$
Opg 4: Lineær afbildning i abstrakte vektorrum
I denne opgave arbejder vi i abstrakte vektorrum. Vi ved altså ikke om det drejer sig om talrum, matrixrum, polynomiumsrum you name it. Det forhindrer os ikke i at undersøge en lineær afbildning der afbilder vektorer i det ene vektorrum på vektorer i det andet.
Et 2-dimensionalt vektorrum $V$ har en basis $a=(\ma_1,\ma_2)\,$, og et 3-dimensionalt vektorrum $W$ har en basis $c=(\mc_1,\mc_2,\mc_3)\,$. En lineær afbildning $\,f:V\rightarrow W\,$ er givet ved at
Opstil afbildningsmatricen $\,\matind cFa\,$, og find billedet $\,\mathbf y\,$ af vektoren $\,\mathbf x=3\ma_1-\ma_2\,$ ved hjælp af afbildningsmatricen.
hint
Opstil definitionen af afbildningsmatrix, se 12.15 i eNote 15.
hint
Udnyt Hovedsætning 12.16 i eNote 12 til at finde billedet $\,\mathbf y\,$.
hint
Se eksempel 12.18 i eNote 12.
answer
$$
\matind cFa = \begin{matr}{rr}
1&-2\newline
-2&4\newline
1&-2\end{matr}\,.
$$
$\mathbf y = f(\mathbf x)=5\mc_1-10\mc_2+5\mc_3\,.$
B
Hvilke af vektorerne $\,\mathbf \ma_1+2\ma_2\,$ og $\,\mathbf 2\ma_1+\ma_2\,$ tilhører kernen for $f\,$? Løs opgaven uden først at bestemme hele kernen.
hint
Lav matrix-vektorproduktet af $\matind cFa$ og hver af de to givne vektorers koordinatvektorer.
answer
$2\ma_1+\ma_2\in \ker(f)\,$.
$\ma_1+2\ma_2 \notin \ker(f)\,$.
C
Bestem (gerne uden at lave nye beregninger) en basis for kernen for $f\,$.
answer
Kernen må være 1-dimensional, derfor er vektoren med $a$-koordinaterne $(2,1)$ en basis for $\ker(f)$.
D
Hvilke af vektorerne $\,\mc_1-2\mc_2+\mc_3\,$ og $\,2\mc_1-\mc_2+2\mc_3\,$ tilhører $f(V)\,$?
hint
Se Metode 12.22 i eNote 12.
answer
Kun $\mc_1-2\mc_2+\mc_3\in f(V)\,.$
E
Angiv en basis for billedrummet for $f\,$.
answer
Billedrummet er 1-dimensionalt, derfor må $\mc_1-2\mc_2+\mc_3$ være en basis.
Opg 5: Lineær afbildning og basisskifte. Maple/SymPy
Vis, at sættet $\,v=(\mv_1,\mv_2,\mv_3)\,$ udgør en basis for $\,\reel^3\,$ og at sættet $\,w=(\mw_1,\mw_2,\mw_3,\mw_4)\,$ udgør en basis for $\,\reel^4\,.$
Da $(\mv_1,\mv_2,\mv_3)$ og $(\mw_1,\mw_2,\mw_3,\mw_4)$ udgør baser for hhv. $\reel^3$ og $\reel^4$ kan $\matind wFv$ blot opskrives vha. koefficienterne fra udtrykket for $f$.
Lad $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ betegne standardbasis for $\reel ^2$ og lad $c=(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3,\mathbf{c}_4)$ betegne en eller anden given basis for $\reel ^4$. Lad nu $f:\reel ^2\rightarrow\reel ^4$ være en lineær afbildning, hvor
