\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Dimension og nulvektor i forskellige vektorrum

A

Opskriv nul-vektoren og angiv dimensionen i hvert af de følgende vektorrum

  1. $\Bbb R^{4}$.

  2. $\Bbb C^{4}$.

  3. $C^{0}(\left[\,0,1\,\right])$.

  4. $\Bbb R^{4 \times 2}$.

  5. $P_{4}(\Bbb R)$.

Opg 2: Lineær afhængighed eller uafhængighed

B

Undersøg om der er lineær afhængighed eller lineær uafhængighed i følgende systemer af vektorer. Ved lineær afhængighed ønskes en af vektorerne skrevet som en linarkombination af de øvrige.

  1. Håndregning. $(1,2,1,0), (2,7,3,1), (3,12,5,2)$ i ${\Bbb R}^{4}$.

  2. Håndregning. $(1,i), (1+i,-1+i)$ i ${\Bbb C}^{2}$.

  3. $1 + 2x + 3x^{2} + x^{3} , 2 + 5x - x^{2} + x^{3} , -3 + 2x -4x^{2} -2x^{3}$ i $P_{3}(\Bbb R)$ .

  4. $\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \newline 1 & 1 & 1 \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \newline 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 5 & -2 \newline 3 & 3 & 2 \end{array}\right] $ i ${\Bbb R}^{2\times 3}$.

Opg 3: Baser og koordinater

A

Håndregning: Bestem den værdi af $a$ der skal undgås, hvis sættet

$$ \big ( \,(1,2,3),(-1,0,2),(1,6,a)\,\big )$$

skal være en gyldig basis for $\mathbb R^3\,$.

B

I $\mathbb R^4$ er der givet fem vektorer:

$\ma_1=(1,-1,2,1),\,\ma_2=(0,1,1,3),\,\ma_3=(1,-2,2,-1),\, \ma_4=(0,1,-1,3)$ og $\mv=(1,-2,2,-3).$

Gør rede for at $(\ma_1,\ma_2,\ma_3,\ma_4)$ er en basis for $\mathbb R^4\,$, og bestem koordinatvektoren $_\mathrm a\mv\,$.

Vælg mellem to varianter af følgende opgave, 4a (almindelig svær) eller 4b (hård nød)!

Opg 4a: Baser og koordinater

Det oplyses at vektorrummet $P_2(\mathbb R)$ har en basis $p=\big(P_1(x),P_2(x),P_3(x)\,\big)$ hvor

$$P_1(x)=1+x^2,\, P_2(x)=-1-x-3x^2 \,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,P_3(x)=6+x+5x^2\,$$
A

Bestem koordinatvektorerne for polynomierne

$$Q_1(x)=3+2x+7x^2,\; Q_2(x)=2+x+4x^2\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,Q_3(x)=5+2x^2$$

med hensyn til basis $\,p\,.$

Opg 4b: Baser og koordinater (advanced)

Det oplyses at vektorrummet $P_2(\mathbb R)$ har en basis $\big(P_1(x),P_2(x),P_3(x)\,\big)$, og at polynomierne

$$Q_1(x)=3+2x+7x^2,\; Q_2(x)=2+x+4x^2\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,Q_3(x)=5+2x^2$$

med hensyn til denne basis har koordinatsættene

$$(1,-2,0),\, (1,-1,0) \,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,(0,1,1)\,.$$
A

Bestem de tre basisvektorer $P_1(x),\,P_2(x)$ og $P_3(x)\,$.

Opg 5: Underrum. Tænke- og håndregningsopgave

A

Betragt mængden $\,G3\,$ af geometriske vektorer i rummet. Findes der underrum i $\,G3\,$ som har dimensionerne 0, 1, 2, 3 eller 4? Beskriv dem i ord, hvis de findes.

B

Er mængden $\lbrace\,a\cos(x)+b\sin(x)\,|\,a,b\in\mathbb R\,\rbrace$ et underrum i $C^{0}(\mathbb R)\,$?

C

Er $\lbrace\,\left (x_1,x_2, x_3, x_4 \right)\, |\, x_1 \cdot x_2 \cdot x_3\cdot x_4=0 \,\rbrace$ et underrum i $\mathbb R^4\,?$

D

Er delmængden af polynomier i $\,P_2(\Bbb R)\,$ som har roden 1, et underrum i $\,P_2(\Bbb R)\,?$ Find i givet fald en basis for underrummet.

E

Er delmængden af polynomier i $\,P_2(\Bbb R)\,$ som har dobbeltrod, et underrum i $\,P_2(\Bbb R)\,?$ Find i givet fald en basis for underrummet.

Opg 6: Baser for underrum

A

Håndregning: Gør rede for at løsningsmængden for det lineære ligningssystem

$$ \begin{aligned} x_2 +3x_3 - x_4+2x_5 &= 0\newline 2x_1+3x_2+x_3+3x_4 &= 0\newline x_1 + x_2 -x_3 + 2x_4-x_5 &= 0 \end{aligned}$$

er et underrum i $\mathbb R^5\,$, angiv underrummets dimension, og bestem en basis for dette underrum.

B

Vis at de to vektorer

$$\ma_1=(1,0,1,0,1,0)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\, \ma_2=(0,1,1,1,1,-1)$$

udspænder det samme underrum i $\mathbb R^6$ som vektorerne

$$\mb_1=(4,-5,-1,-5,-1,5) \,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\mb_2=(-3,2,-1,2,-1,-2)\,.$$

Opg 7: Vektorer inde i og uden for et underrum

A

Indledende meditation over identiteten: En matrix er en vektor er en vektor er en matrix (frit efter Gertrud Stein, 1913: A rose is a rose is a rose is a rose).

I vektorrummet $\,\reel^{3\times 3}\,$ er der givet fire vektorer:

$$ \begin{matr}{rrr} 1 &0 & 0 \newline 0 & -2 & 0 \newline 0& 0 & 3 \end{matr}\,,\,\,\, \begin{matr}{rrr} 0 &-3 & 0 \newline 0 & 2 & 0 \newline 0 & -1 & 0 \end{matr}\,,\,\,\, \begin{matr}{rrr} 0 &0 & 1 \newline 0 & -2 & 0 \newline 3 & 0 & 0 \end{matr}\,,\,\,\, \begin{matr}{rrr} 0 &0 & 0 \newline -1 & 2 & -3\newline 0 & 0 & 0 \end{matr}\,.$$
B

Vis at de fire vektorer er lineært uafhængige.

Vi betragter det underrum $\,U\subset \reel^{3\times 3}\,$ som er udspændt af de fire givne vektorer.

C

Vælg en basis for $\,U\,,$ og vis at

$$ \begin{matr}{rrr} 2 &-3 & -2 \newline -3 & 8 & -9 \newline -6& -1 & 6 \end{matr} \in U \,.$$

Bestem koordinatvektoren for denne vektor med hensyn til den valgte basis for $\,U\,.$

D

Find en vektor $\,\mathbf v \in \reel^{3\times 3}\,$ som opfylder $\,\mathbf v \notin U\,.$

Exercise 8: Basis for Spanning (Advanced)

In $\, P_2(\Bbb R)\, $ the following vectors are given

$$ P_1(x) = 1 - 3x +2x^2, \; P_2(x) = 1 + x + 4x^2,\; P_3(x) = 1 -7x\,.$$
A

Show that $\, \, \big (P_1(x), P_2(x)\big ) \, $ is a basis for $\,\mathrm{span}\lbrace P_1(x), P_2(x), P_3(x)\rbrace \,.$

B

Investigate whether the vectors

$$\,Q_1(x) = 1 + 5x + 9x^2\,\,\,\,\mathrm{and}\,\,\,\, Q_2(x) = 3 - x +10x^2\,$$

belong to $\,\mathrm{span}\lbrace P_1(x), P_2(x), P_3(x)\rbrace\,$ and if so state the coordinate vectors with respect to the basis $\,\big (P_1(x), P_2(x)\big)\,$.

C

State the simplest possible basis for $\text{span}\lbrace \,P_1(x), P_2(x), P_3(x),Q_1(x),Q_2(x) \, \rbrace\,.$