01005

$\nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\$

Opg 1: Udregning af determinanter

Der er givet fem $3\times 3$ -matricer.

$\begin{matr}{rrr} 2 & -3 & 1 \newline -1 & 2 & 2 \newline 3 & -5 & 1 \end{matr},\, \,\begin{matr}{rrr} 4 & 2 & 1 \newline 0 & 1 & 2 \newline 0 & 0 & 2 \end{matr},\, \, \begin{matr}{rrr} 2 &0 & 0 \newline 3 & 5 & 0 \newline 9 & -4 & 3 \end{matr},\, \, \begin{matr}{ccc} 2-i & 0 & 0 \newline 0 & 2+i & 0 \newline 0 & 0 & 1 \end{matr},\, \, \begin{matr}{rrr} 4 & 2 & 1 \newline 1 & 1 & 2 \newline 1 & 1 & 2 \end{matr}\,.$

Håndregning: Udregn determinanten af den første matrix ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle.

Hovedregning: Udregn determinanten af de resterende fire matricer.

Opg 2: Parameterfremstilling for parallelogram

På figuren er der i rummet givet et referencepunkt $O$ (origo) og en plan som indeholder et parallelogram $A\,.$ Der er desuden valgt et fast begyndelsespunkt $B$ i den givne plan og to retningsvektorer $\mathbf u$ og $\mathbf v\,.$

Giv en parameterfremstilling for $A$ udtrykt ved stedvektorer refererende til $O\,.$

Opg 3: Forskellige baser i rummet

Vi betragter rumvektorers koordinater i forskellige baser, se figuren.

Det fremgår af figur 6.21, at $\mathbf a$ , $\mathbf b$ og $\mc$ er lineært uafhængige. En basis m er givet ved $(\mathbf a, \mathbf b,\mathbf c)$ . Endepunktet af $\md$ ligger i midtpunktet af den modstående side til $\mb$ i parallelepipedum. Bestem koordinatvektoren $_\mathrm m\mathbf d$ .

Det fremgår også af figuren, at $(\mathbf a, \mathbf b,\mathbf d)$ er en basis, lad os kalde den n. Bestem koordinatvektoren $_\mathrm n\mathbf c$ .

Opgave 4: Geometri i planen

Vi betragter tre geometriske vektor indsat i et sædvanligt koordinatsystem i planen:

Bestem koordinaterne for $\,\mathbf a\,,$ $\,\mathbf b\,$ og $\,\mathbf c\,$ i den givne standardbasis $\,e\,.$

Bestem længden af hver vektor.

Bestem vinklen mellem $\,\ma\,$ og $\,\mb\,.$

Bestem med determinant-metoden det areal der udspændes af $\,\ma\,$ og $\,\mb\,.$

Bestem længden af projektionsvektoren proj( $\mb,\mc$ ).

Bestem projektionsvektoren proj( $\mb,\mc$ ).

Opg 5: Geometri i rummet

Vi skal udregne rumfanget af det parallelepipedum der er udspændt af tre geometriske vektor indsat i et sædvanligt koordinatsystem i rummet:

Vektorernes koordinater er i standardbasen givet ved

$_\mathrm e\ma=(1,0,0)\,,\,\,_\mathrm e\mb=(1,2,0)\,,\,\,_\mathrm e\mc=\left(\,\frac 32,\frac 12,\frac 32\,\right)\,.$

Find parallelepipedums rumfang ved formlen: grundfladens areal ganget med højden.

Bestem

$\mathrm{Det}(\left[\,_\mathrm e\ma\,\,_\mathrm e\mb\,\,_\mathrm e\mc\,\right])\,.$

Opg 6: Lineær afhængighed eller uafhængighed

Der er i rummet givet tre vektorer som med hensyn til et sædvanligt koordinatsystem har koordinaterne

$(3,1,5),\,(2,3,9)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,(-5,3,3)\,.$

Bestem med Maple/SymPy determinanten af den matrix der har de tre vektorer som søjler. Er de tre vektorer lineært uafhængige?

En konsekvens af korrekt svar på første spørgsmål er, at mindst én af de tre vektorer kan skrives som en linearkombination af de øvrige. Opskriv en af de tre vektorer som en linearkombination af de to andre.

Angiv rumfanget af det parallelepipedum som er udspændt af vektorerne $\,(3,1,5),\,(2,3,9)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,(-5,3,3)\,.$

Bestem en vektor som er vinkelret på både $\,(3,1,5)\,$ og $\,(2,3,9)\,,$ og som sammen med de to vektorer udspænder et parallelepipedum med rumfanget $187\,.$