\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Løsning af ligningssystem

Disse første opgaver introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

A

Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} x_1 + 2x_2 - 4x_3 &= 2\newline x_2-2x_3 &= -1\newline x_3 &= 2 \end{aligned} \end{equation}

B

Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} x_1 - x_3 + x_4 &= 0\newline x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= 1\newline 4x_1 + 4x_2 + 4x_3 + 3x_4 &= 5 \end{aligned} \end{equation}

C

Find den fuldstændige løsning til det komplekse lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} i\,x_1 - 2x_2=-i\newline x_1 + (1+i)x_2= 1 \end{aligned} \end{equation}

D

Find den fuldstændige løsningsmængde til det lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3 &= 2 \newline x_2+3x_3 &= 3 \newline x_1+4x_2+8x_3 &= 9 \end{aligned} \end{equation}

Opg 2a: Intro til ligningssystemer med Maple

Maple kan selvfølgelig regne med matricer, men først skal man inkludere en pakke i Maple, som vil lukke op for en række kommandoer, der har med lineær algebra at gøre. Pakken hedder LinearAlgebra og den inkluderes ved denne kommando:

> with(LinearAlgebra):

Læg mærke til, at kommandoen er skrevet med kolon til sidst. Prøv først at skrive kommandoen uden, og se derefter forskellen. Outputtet fra Maple er alle de kommandoer, som pakken inkluderer. Det er imidlertid overflødig information, og derfor kan det være en ide at afslutte kommandoen med kolon for at undgå outputtet.

Læg også mærke til at LinearAlgebra indeholder et stort L og A, Maple skelner mellem små og store bogstaver.

Det lille lineære ligningssystem \begin{equation} \begin{aligned} 3x - 7y &= 1 \newline -2x -y &= 4 \end{aligned} \end{equation}

har koefficientmatricen \begin{equation} \begin{aligned} \begin{matr}{rr} 3 & -7 \newline -2 & -1 \end{matr} \end{aligned} \end{equation}

I Maple kan man vælge at bygge sin matrix op rækkevist hvor rækkerne adskilles af “;” eller søjlevist hvor søjlerne adskilles med $\mathrm{“|”}$. Bemærk de to måder her, som giver samme output:

Rækkevist: > A:=<3,-7;-2,-1> Søjlevist: > A:=<3,-2|-7,-1>

Definer nu også højresiden b ved

> b := <1,4>

Man kan løse det lineære ligningssystem med kommandoen LinearSolve (husk igen forskellen på store og små bogstaver):

> LinearSolve(A,b)

Du kan også først danne totalmatricen > T:=<A|b> og skrive > LinearSolve(T) idet sidste søjle i en matrix fortolkes som højreside, hvis man ikke eksplicit angiver en højreside.

Vi kan også betragte de to ligninger med to ubekendte som et spørgsmål om skæring mellem to linjer i en plan. Hvis vi ønsker at illustrere det, skal vi bruge en anden pakke, skriv:

> with(plots): plots-pakken indeholder mere avancerede former for plots end kommandoen plot kan klare. Nu prøver vi at plotte de to linjer sammen:

> linje1 := implicitplot( 3*x - 7*y = 1 , x = -3 .. 3 , y = -3 .. 3): > linje2 := implicitplot( -2*x - y = 4 , x = -5 .. 3 , y = -3 .. 3):

Plottene kan herefter flettes sammen og vises med denne kommando (og scaling = constrained er også inkluderet som argument): `> display([linje1 , linje2] , scaling=constrained)

Gangetegnet skriver du med * (asterisk). Det er vigtigt, at du altid skriver gangetegnet og ikke udelader det som man ofte ellers vil gøre, når man skriver matematik.

Sammenlign skæringspunktets koordinater med den tidligere fundne løsning til de to ligninger for linjerne.

Nu skal vi prøve at løse opgave 1b) i Maple. Skriv (og forstå!) følgende kommandoer:

> restart: with(LinearAlgebra):

Der er givet ligningerne:

> lign1 := x1 - x3 + x4 = 0: > lign2 := x1 + x2 + x3 + x4 = 1: > lign3 := 4*x1 + 4*x2 + 4*x3 + 3*x4 = 5:

Vi danner (genererer) ligningssystemets totalmatrix:

> T :=<1,1,4|0,1,4|-1,1,4|1,1,3|0,1,5>

Skriv de følgende kommandoer og se, om det bliver det samme, som da du regnede opgaven i hånden.

> T1 := RowOperation(T , [2,1] , -1) > T2 := RowOperation(T1 , [3,1] , -4) > T3 := RowOperation(T2 , [3,2] , -4) > T4 := RowOperation(T3 , 3 , -1) > trapT := RowOperation(T4 , [1,3] , -1)

Prøv nu at opskrive det tilhørende fuldstændigt reducerede lineære ligningssystem.

Man kan komme frem til trappeformen af en matrix straks ved hjælp af kommandoen

> trapT2 := ReducedRowEchelonForm(T)

Opskriv løsningsmængden på standardparameterform og sammenlign den med det følgende (som er den hurtigste løsningsmetode – LinearSolve bliver din ven!):

Først skal du definere koefficientmatricen > A:= og højresiden > b:=. Derefter forsøger du med:

> LinearSolve(A,b,free=t)

Giver alle løsningsmetoderne det samme?

Opg 2b: Intro til ligningssystemer med SymPy

Det lille lineære ligningssystem \begin{equation} \begin{aligned} 3x - 7y &= 1 \newline -2x -y &= 4 \end{aligned} \end{equation}

har koefficientmatricen \begin{equation} \begin{aligned} \begin{matr}{rr} 3 & -7 \newline -2 & -1 \end{matr} \end{aligned} \end{equation}

I SymPy bygger man sin matrix op rækkevist: Rækkevist: Matrix([[3,-7],[-2,-1]])

Definer nu også højresiden b ved

Matrix([1,4])

Man kan løse det lineære ligningssystem med kommandoen linsolve (husk igen forskellen på store og små bogstaver):

linsolve((A,b))

Du kan også først danne totalmatricen T = A.row_join(b) og finde løsningen med rref(pivots=False).

Nu skal vi prøve at løse opgave 1b) i SymPy. Skriv (og forstå!) følgende kommandoer:

Der er givet ligningerne:

x1,x2,x3,x4 = symbols('x1:5') lign1 = Eq(x1 - x3 + x4, 0) lign2 = Eq(x1 + x2 + x3 + x4, 1) lign3 = Eq(4*x1 + 4*x2 + 4*x3 + 3*x4, 5) lign1, lign2, lign3

Vi danner (genererer) ligningssystemets totalmatrix:

T=Matrix([[1,0,-1,1,0],[1,1,1,1,1],[4,4,4,3,5]])

Brug nu SymPy’s elementary_row_op og lav de samme rækkeoperationer som du gjorde i opgave 1b, bliver det samme, som da du regnede opgaven i hånden. (Se i denne uges SymPy-demo hvordan kommandoen virker)

Prøv nu at opskrive det tilhørende fuldstændigt reducerede lineære ligningssystem.

Man kan komme frem til trappeformen af en matrix straks ved hjælp af kommandoen

T.rref()

Opskriv løsningsmængden på standardparameterform og sammenlign den med det følgende:

Først skal du definere koefficientmatricen A og højresiden b. Derefter forsøger du med:

linsolve((A,b))

Giver alle løsningsmetoderne det samme?

Opg 3a: Lineært ligningssystem med Maple

Givet ligningssystemet

$$ \begin{equation} \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3 &= 6 \newline x_2+3x_3 &= 3 \newline x_1+4x_2+8x_3 &= 12 \end{aligned} \end{equation} $$
A

Definér i Maple ligningssystemets koefficientmatrix A, højreside b og totalmatrix T.

B

Afprøv de tre Maple-metoder: RowOperation, ReducedRowEchelonform og LinearSolve.

C

Opskriv ligningssystemets løsningsmængde på standard parameterform

D

Diskutér fordele og ulemper ved hver af de tre Maple-metoder: RowOperation, ReducedRowEchelonform og LinearSolve.

Opg 3b: Lineært ligningssystem med SymPy

Givet ligningssystemet

$$ \begin{equation} \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3 &= 6 \newline x_2+3x_3 &= 3 \newline x_1+4x_2+8x_3 &= 12 \end{aligned} \end{equation} $$
A

Definér i SymPy ligningssystemets koefficientmatrix A, højreside b og totalmatrix T.

B

Afprøv de fire SymPy-metoder: elementary_row_op, gauss_jordan_solve, rref og linsolve.

C

Opskriv ligningssystemets løsningsmængde på standard parameterform

D

Diskutér fordele og ulemper ved hver af de fire SymPy-metoder: elementary_row_op, gauss_jordan_solve, rref og linsolve.

Opg 4: Løsningers struktur og begrebet rang: Teori

Det er væsentligt at opnå en forståelse af løsningsmængdens struktur. Dels forholdet mellem løsningerne til det inhomogene og det tilsvarende homogene ligningssystem, og dels forholdet mellem løsningsmængdens form/dimension og rangen af den tilhørende totalmatrix.

A

Hvis $ \mx_0 = (1,2,3) $ er løsning til et inhomogent lineært ligningssystem, og hvis $ \mx_1 = (0,5,2) $ er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem, er $ \my_0 = (1,7,5) $ så en løsning til det inhomogene ligningssystem? Er $ \mz_0 = (2,9,8) $ løsning til det inhomogene ligningssystem? Er differensen mellem to løsninger til det inhomogene lineære ligningssystem også en løsning til det inhomogene lineære ligningssystem?

Før du løser den næste opgave bør du studere eNote 6, eksempel 6.30 og den første Maple/SymPy-Demo Ligningssystemer grundigt.

B

Beskriv med dine egne ord den betydning, rangen af ligningssystemets totalmatrix har for strukturen af løsningsmængden.

Opg 5: Løsningers struktur og begrebet rang: Praksis

Intro: Ligningssystemet i denne opgave indeholder et ikke kendt reelt tal $a$ og dets løsning falder meget forskelligt ud efter hvilken værdi $a$ antager. Under GaussJordan-eliminationen skal I være meget påpasselige med ikke at dividere med nul, for så misser man vigtige særtilfælde. Brug opgaven til at diskutere hvordan rangen af systemets koefficient- og totalmatrix og dermed løsningsmængdens struktur afhænger af $a\,.$

A

Håndregning: Find for enhver reel værdi af $a$ samtlige løsninger til det lineære ligningssystem \begin{equation} \begin{aligned} ax_1 + x_2 + x_3 &= 1\newline x_1 + ax_2 + x_3 &= 1\newline x_1 + x_2 + ax_3 &= 1 \end{aligned} \end{equation}

B

Tjek det ovenstående eksempel med Maple’s LinearSolve eller SymPy’s linsolve. Konklusion?

Opg 6: Regning med matricer

At multiplicere matricer er ikke helt simpelt, og når man blot anvender bogstavsbetegnelserne for sine matricer, kan det let gå galt! Læs først eksempel 7.2 og eksempel 7.11. Læg mærke til regnereglerne for de indførte regneoperationer i sætning 7.3, sætning 7.13 og sætningn 7.16.

A

Hvad er det vigtigt at overveje inden du går i gang med at multiplicere?

B

Hvorfor gælder der i almindelighed, at $\mA\mB \neq \mB\mA$?

C

Hvis $\mA\mB$ og $\mB\mA$ har samme dimension, er det så sikkert, at $\mA\mB = \mB\mA$?

D

Der er givet en matrix og en vektor ved:

$$ \begin{equation} \mA= \begin{matr}{rrr} 2 & -1 & 3 \newline 1 & 2 & -1 \end{matr} \,\,\,\mathrm{og}\,\,\, \mb=\begin{matr}{r} 3\newline 1\newline -2\end{matr}\,. \end{equation} $$

Udregn i hånden matrix-vektorproduktet af $\mA$ og $\mb$.

E

Givet matricerne \begin{equation} \mA= \begin{matr}{rrr} 1 & 1 & 2 \newline 1 & 2 & -1 \end{matr} \quad \mathrm{og} \quad \mB = \begin{matr}{rrr} 0 & -1 & -1 \newline 1 & 2 & 1 \end{matr} \end{equation} Håndregning: Udregn, hvis det er muligt, følgende: $2\mA-3\mB$, $2\mA\transp-3\mB\transp$, $2\mA-3\mB\transp$, $\mA\mB$, $\mA\mB\transp$, $\mB\mA\transp$, $\mB\transp\mA$ og $\mA\transp\mB$.

Opgave 7: Et camoufleret ligningssystem?

En matrix $\,\mA\,$ og en vektorer $\,\mathbf b\,$ er givet ved

$$ \mA=\begin{matr}{rrrr} 1 & 0 & -1 & 1 \newline -1 & 2 & -3 & -1 \end{matr}\,\,\,\,\mathrm{og} \,\,\,\, \mathbf b = \begin{matr}{r} 4\newline 2 \end{matr}\,.$$
F

Løs matrixligningen $\,\mA\mathbf x=\mathbf b\,.$