\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Modellering med Lineær Algebra

På en lertavle fra Babylon, ca. 2000 f. Kr. opstilles følgende problem:

En mand som er 30 år ældre end sin søn, vil om 8 år blive 4 gange så gammel som sønnen. Hvor gammel er hver af dem?

A

Opstil to ligninger med to ubekendte som indeholder informationen i lertavlen. Reducér den til ligningssystemet svarende totalmatrix og find på den måde løsningen.

B

Tjek at dine løsninger passer med informationen i lertavlen.

Opg 2: Transponeret ligningssystem

En matrix er givet ved

$$\mA=\begin{matr}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 4 \newline 3 & 7 & 2 & 8 \newline 2 & 4 & 0 & 4 \end{matr}$$
A

Opskriv $\,\mA\transp\,.$

B

Løs matrixligningen

$$\begin{matr}{rrr} x_1 & x_2 & x_3 \end{matr} \cdot \mA = \begin{matr}{rrrr} 2 & 5 & 2 & 6 \end{matr}\,.$$

Opg 3: Ligningssystemer versus matrixligninger

A

Løs ved GaussJordan-elimination de følgende to lineære ligningssystemer

$$ \begin{aligned} x_1 - x_2 &= -1\newline 2x_1 + x_2 &= 4 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} y_1 - y_2 &= 3\newline 2y_1 + y_2 &= 0 \end{aligned} $$

Der er givet matricerne

$$\,\mA=\begin{matr}{rr} 1 & -1 \newline 2 & 1\end{matr}\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, \mB=\begin{matr}{rr} -1 & 3 \newline 4 & 0\end{matr}\,.$$

Vi betragter matrixligningen

$$(*)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mA \mathbf X =\mB\,.$$
B

Hvilken form må matricen $\,\mathbf X\,$ have for at $\,(*)\,$ giver mening? Løs ligningen ved GaussJordan-elimination og sammenlign med resultatet i spørgsmål a).

C

Gør rede for at $\,\mathbf A\,$ er invertibel, og løs nu $\,(*)\,$ ved at isolere $\,\mathbf X\,$ på venstresiden i $\,(*)\,.$

Opg 4: Regulær matrix, Invers matrix

Givet matricerne \begin{equation} \mA = \begin{matr}{rr} 0 & 1 \newline 1 & 0 \newline 2 & 3 \end{matr} \quad \mathrm{og} \quad \mB = \begin{matr}{rrr} 3 & 2 & 1 \newline 0 & 1 & 2 \end{matr} \end{equation} Produkterne $\,\mA\mB\,$ og $\,\mB\mA\,$ er kvadratiske matricer og giver anledning til følgende spørgsmål.

A

Håndregning: Vis, at $ \mB\mA $ er regulær, og bestem $ (\mB\mA)^{-1} $.

B

Håndregning: Vis, at $ \mA\mB $ er singulær (dvs. ikke regulær), og at man derfor ikke kan bestemme $ (\mA\mB)^{-1} $.

Opg 5: Løsningsmængders struktur

Vi betragter ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x_1 + x_2 + 2x_3 &= 3\newline 2x_1 - x_2 + 4x_3 &= 0\newline x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3\newline -3x_1 - 2x_2 + x_3 &= 0\newline \end{aligned} \end{equation}

A

Find trappeformen af den til ligningssystemet svarende totalmatrix. Bestem derudfra rangen af såvel koefficientmatricen som totalmatricen. Hvor mange løsninger har systemet. Angiv dem.

B

Angiv den fuldstændige løsning til det homogene lineære ligningssystem, der svarer til det givne inhomogene ligningssystem.

Vi betragter herefter ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 &= 1\newline 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 + x_5 &= 2\newline 3x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 6x_4 - 3x_5 &= 3\newline \end{aligned} \end{equation}

C

Find trappeformen af den til ligningssystemet svarende totalmatrix. Bestem derudfra rangen af såvel koefficientmatricen som totalmatricen. Hvor mange løsninger har systemet. Angiv dem på standard-parameterform.

D

Angiv den fuldstændige løsning til det homogene lineære ligningssystem, der svarer til det givne inhomogene ligningssystem.