\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Dagens wetware-opgave

tandborste2.png

Løs ligningen $\,(z-3)(z^2+1)=0\,.$

Opg 2: Førstegradspolynomier

Et polynomium $\,P:\,\mathbb C\mapsto \mathbb C\,$ er givet ved

$$\,P(z)=(2-i)z+i\,.$$
A

Løs ligningen $\,P(z)=0\,.$

B

Løs ligningerne $\,P(z)=2\,$ og $\,P(z)=-2+2i\,.$

Opg 3: Binome 2.gradsligninger med reel højreside

A

Lad $\,r\,$ være et positivt reelt tal. Gør rede for at ligningen

$$z^2=-r$$

har netop to løsninger som er givet ved $\,z_0=-i\,\sqrt r\,$ og $\,z_1=i\,\sqrt r\,.$

B

Løs ligningerne $\,z^2=16\,$ og $\,z^2=-16\,.$

C

Løs ligningerne $\,z^2=17\,$ og $\,z^2=-17\,.$

D

Løs ligningerne $\,z^2=625\,$ og $\,z^2=-625\,.$

E

Lad $\,b\,$ være et reelt tal. Vis at løsningerne for

$$\,z^2=ib\,$$

ligger på linjen $\,y=x\,$ når $\,b>0\,$ og på linjen $\,y=-x\,$ når $\,b<0\,.$

Opg 4: At faktorisere for at kunne forkorte

A

Vis (uden brug af løsningsformel!) at $\,\,-1+2i\,\,$ er rod i andengradspolynomiet

$$\,P(z)=3z^2+6z+15\,.$$

Bestem (uden brug af løsningsformel!) polynomiets anden rod og opskriv $\,P(z)\,$ på faktoriseret form.

B

Det oplyses at $\,i\,$ og $\,1+i\,$ er rødder i polynomiet

$$\,Q(z)=z^2-z-2iz-1+i\,\,.$$

Forkort brøken

$$\frac{z^2-z-2iz-1+i}{z-1-i}\,.$$

Opg 5: Nedstigningssætningen

A

Vis at $x_0=1$ er rod i polynomiet

$$P(x)=x^3-x^2+x-1$$

og bestem et andengradspolynomium $Q$ således at

$$P(x)=(x-1)\cdot Q(x)\,.$$

B

Bestem samtlige komplekse rødder for $7.$ gradspolynomiet

$$\,P(z)=(z^6-z^5+z^4-z^3)(z-1)\,.$$

Opskriv polynomiet på fuldstændig faktoriseret form, og angiv røddernes algebraiske multipliciteter.

C

Vis at $2$ er dobbeltrod i polynomiet $\,2z^4-4z^3-16z+32\,.$

D

Find samtlige løsninger til ligningen

$$\,2z^4-4z^3-16z+32=0\,.$$

Opg 6: Få styr på begreberne

Vigtige afklaringer angående polynomier:

A

  • Hvis et $n$‘te gradspolynomium og en $n$‘te gradsligning har ens koefficienter, hvad er så egentlig forskellen mellem dem?

  • Hvor mange reelle rødder har et komplekst polynomium af grad $n$?

  • Hvor mange reelle rødder har et reelt polynomium af grad $n$?

  • Hvor mange reelle og komplekse rødder tilsammen har et reelt polynomium af grad $n$?

  • Om to $n$‘te gradspolynomier $P$ og $Q\,$ vides at enhver rod i $P$ er rod i $Q$ med samme algebraiske multiplicitet. Er de to polynomier identiske?

Opg 7: Differentiationer

A

Et reelt polynomium $\,P\,$ af en reel variabel er givet ved

$$ P(x)=25x^4-33x^3+49x^2-97x+96\,,\,\,x\in \Bbb R\,.$$

Bestem den afledede af $\,P\,.$

B

I afsnit $1.10$ i eNote 1 om komplekse tal indføres differentiation af komplekse funktioner af en reel variabel. Et eksempel på en kompleks funktion af en reel variabel er funktionen $\,f\,$ givet ved

$$ f(t)=t-3t^3+1+i\,(t^2-5t-1)\,,\,\,t\in \Bbb R\,. $$

Bemærk at såvel realdelen som imaginærdelen af $\,f\,$ er et reelt polynomium af en reel variabel. Bestem den afledede $\,f’(t)\,$ og differentialkvotienten $\,f’(0)\,.$

C

Funktionen $\,g\,$ er givet ved

$$ g(t)=(i\cdot t^2+t-i)\cdot((1+i)t-i)\,,\,\,t\in \Bbb R\,. $$

Der findes netop én løsning til ligningen $\,g’(t)=-6-i\,.$ Find den!

D

Et komplekst polynomium $\,Q\,$ af en reel variabel er givet ved

$$ Q(x)=(1+2i)x^2+(2-5i)x-(1-i)\,,\,\,x\in \Bbb R\,. $$

Eftervis at $\,Q\,$ kan differentieres efter de samme regler som gælder for reelle polynomier af en reel variabel, når blot $\,i\,$ behandles som enhver anden konstant.

Opg 8: Polynomium med komplekse koefficienter

A

Løs den binome andengradsligning $\,z^2=3-4i\,.$

B

Givet polynomiet

$$\,P(z)=z^2-(1+2i)z-\frac 32+2i\,.$$

Bestem polynomiets rødder.

Opg 9: En andengradslignings geometri. Enjoy!

Givet det komplekse tal $\,\,\alpha = 3-4\,i\,\, $ og den komplekse talmængde

$$\,S=\{\,z \in \Bbb {C}\,\,\, |\, \, \, \left|z \right| =5\,\}\,.$$
A

Vis at $\,\,\alpha \in S\,\,$. Illustrér.

Det oplyses at polynomiet $\,\,P(z)=z^2+a\,z+b\,\,$ har reelle koefficienter, og at $\,\alpha\,$ er rod i $\,\,P(z)\,\,$.

B

Angiv samtlige rødder i $\,\,P(z)\,\,$, og bestem $\,a\,$ og $\,b\,$.

C

Lad $\,c\,$ være et vilkårligt reelt tal som opfylder $\,c \in \left[-10\,;\,10\, \right] \,$. Vis at rødderne i polynomiet

$$Q(z)=z^2+c\,z+25$$

tilhører $\,S\,$.

D

Advanced. Vi betragter den reelle andengradsligning

$$z^2+mz+n=0\,,\,\,n>0\,.$$

Eftervis at følgende påstand er sand: Hvis $\,-2\,\sqrt n \leq m \leq 2\,\sqrt n\,$ kan andengradsligningens løsninger findes i den komplekse talplan som skæringspunkterne mellem en lodret linje gennem $\,-\frac m2\,$ og en cirkel som har centrum i $\,0\,$ og radius $\,\sqrt n\,.$