\\

Opg 1: Dagens wetware-opgave

tandborste2.png

Differentiér (x2+7)13.

Opg 2: Afledet funktion

A

Bestem den afledede funktion for hver af de følgende funktioner i deres respektive definitionsmængder:

f1(x)=(x2+1)sin(x)f2(x)=exx2f3(x)=cos(ln(x)+1)f4(x)=cos(cos(cos(x)))

Opg 3: De afledte af komplekse funktioner

A

Find for enhvert tR differentialkvotienterne af følgende funktioner:

f1(t)=t2+isin(t)f2(t)=1+it5f3(t)=t5if4(t)=3eitf5(t)=ie2t+3it

Opg 4: At differentiere omvendt funktion

Hvis funktionen y=f(x) har en omvendt funktion x=f1(y) kan vi finde den afledede af f1(y) således:

(f1)(y)=1f(x).
A

Sinus har i intervallet ]π2,π2] en omvendt funktion som betegnes arcsinus. Bestem den afledede af arcsin.

Opg 5: Tangens og arctan

Funktionen tangens er som bekendt defineret ved udtrykket

tan(t)=sin(t)cos(t),tR{π2+pπ|pZ}.
A

Vis at differentialkvotienten af tangens i ethvert t i definitionensmængden er givet ved udtrykket

tan(t)=1+tan2(t).

B

Tangens har i det åbne interval ]π2,π2[ en omvendt funktion som betegnes arctan. Bestem arctan(x) for ethvert x i intervallet.

Opg 6: Differentialkvotient via definition. Teori

A

Vis at den reelle funktionen f med forskrift f(x)=x2 er differentiabel i ethvert x0R med differentialkvotient

ddxf(x0)=2x0.

Vink: Indsæt forskriften i udtrykket

f(x)=f(x0)+a(xx0)+ϵ(xx0)(xx0)

og isolér ϵ(xx0).

Opg 7: Andengradsligning med reelle koefficienter

A

Løs nedenstående ligninger dels inden for R og dels inden for C.

  1. 2x2+9x5=0

  2. x24x=0

  3. x24x+13=0

B

Løs ligningen

2(x+1i)(x+1+i)=0

og vis at den er af typen andengradsligning med reelle koefficienter.

Opg 8: Komplekse koefficienter

A

Find løsningerne for ligningen

z2(1+5i)z=0.

B

Vis at følgende andengradsligning har rent imaginær diskriminant, og løs den.

z2+(2+2i)z2i=0.

Opg 9: Fri leg med epsilon-funktioner (advanced)

A

Vis, at funktionen:

f1(x)={|x|/xhvisx00hvisx=0

ikke er en epsilon-funktion.

B

Vis, at funktionen: f2(x)=1cos(x)

er en epsilon-funktion.

C

Vis, at den komplekse funktion: f3(x)=ieixi

er en epsilon-funktion.