Opg 1: Dagens wetware-opgave
Differentiér (x2+7)13.
Opg 2: Afledet funktion
Bestem den afledede funktion for hver af de følgende funktioner i deres respektive definitionsmængder:
Opg 3: De afledte af komplekse funktioner
Find for enhvert t∈R differentialkvotienterne af følgende funktioner:
Opg 4: At differentiere omvendt funktion
Hvis funktionen y=f(x) har en omvendt funktion x=f−1(y) kan vi finde den afledede af f−1(y) således:
Sinus har i intervallet ]−π2,π2] en omvendt funktion som betegnes arcsinus. Bestem den afledede af arcsin.
Opg 5: Tangens og arctan
Funktionen tangens er som bekendt defineret ved udtrykket
Vis at differentialkvotienten af tangens i ethvert t i definitionensmængden er givet ved udtrykket
Tangens har i det åbne interval ]−π2,π2[ en omvendt funktion som betegnes arctan. Bestem arctan′(x) for ethvert x i intervallet.
Opg 6: Differentialkvotient via definition. Teori
Vis at den reelle funktionen f med forskrift f(x)=x2 er differentiabel i ethvert x0∈R med differentialkvotient
Vink: Indsæt forskriften i udtrykket
og isolér ϵ(x−x0).
Opg 7: Andengradsligning med reelle koefficienter
Løs nedenstående ligninger dels inden for R og dels inden for C.
-
2x2+9x−5=0
-
x2−4x=0
-
x2−4x+13=0
Løs ligningen
og vis at den er af typen andengradsligning med reelle koefficienter.
Opg 8: Komplekse koefficienter
Find løsningerne for ligningen
Vis at følgende andengradsligning har rent imaginær diskriminant, og løs den.
Opg 9: Fri leg med epsilon-funktioner (advanced)
Vis, at funktionen:
ikke er en epsilon-funktion.
Vis, at funktionen: f2(x)=1−cos(x)
er en epsilon-funktion.
Vis, at den komplekse funktion: f3(x)=ieix−i
er en epsilon-funktion.