\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opgave 1: Dagens wetware-opgave

Hvad er $\,\displaystyle{\sin\left(3\frac{\pi}{2}\right)}\,$?

Opgave 2: Fra vinkelmål til radiantal og omvendt

A

Angiv de radiantal der svarer til vinkelmålene $30, 60, 120, 135$ og $300$ grader.

B

Tegn enhedscirklen i et $(x,y)$-koordinatsystem med centrum i Origo. Afsæt punkter på enhedscirklen svarende til buelængderne

$$\pi\,,\, \frac{\pi}{3}\,, \,\frac{-\pi}{6}\,, \,-\frac{\pi}{6}\,, \,\frac{7\pi}{12}\,,\,-\frac{3\pi}{2}\,,\,\frac{7\pi}{4}\,.$$

Hvilke vinkelmål i grader svarer de til?

Opgave 3: Cosinus og Sinus

A

Benyt figuren (den blå trekant) til geometrisk bestemmelse af de eksakte værdier for $\,\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\,$ og $\,\displaystyle{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}\,.$

B

Bestem ved hjælp af symmetribetragtninger tallene

$$ \cos\left(p\,\frac{\pi}{4}\right)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\sin\left(p\,\frac{\pi}{4}\right) \,\,\,\mathrm{for}\,\,\,p=3, 5, 7, -1, -3, -5, -7\,. $$

C

Det oplyses at $\,\displaystyle{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt 3}{2}\,$ og $\,\displaystyle{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{2}\,.$ Indtegn punktet

$$\, \displaystyle{\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\,,\,\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)} \,$$

på en enhedscirkel og find ved hjælp af symmetribetragtninger tallene

$$ \cos\left(p\,\frac{\pi}{6}\right)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\sin\left(p\,\frac{\pi}{6}\right) \,\,\,\mathrm{for}\,\,\,p=2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\,. $$

D

For givne tal $\,A,\,b,\,C\,$ og $d$ er graferne for funktionerne

$$\,x\rightarrow A\cos(b\cdot x)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,x\rightarrow C\sin(d\cdot x)\,$$

plottet for $\,x\in \left[\,-\pi\,,\,\pi\,\right]\,$.

Bestem tallene $\,A,\,b,\,C\,$ og $d\,.$

Opgave 4: Polære koordinater

A

Givet tallene $z_0=1+i\sqrt{3}\,$, $z_1=-1+i\sqrt{3}\,$, $z_2=-1-i\sqrt{3}\,$ og $z_3=1-i\sqrt{3}\,$.

  1. Find den cirkel med centrum i $0\,$, hvorpå de fire tal ligger.
  2. Bestem $\,\arg(z_0)\,$, og angiv derefter hovedargumentet for $\,z_1\,,\,z_2\,$ og $\,z_3\,$. Hvad er de polære koordinater for alle fire tal? $ $

B

En studerende skal finde de polære koordinater for tallet $\,2-2i\,\,$. Han vælger at bruger lommeregneren. Ved at indtaste

$$\sqrt{2^2+(-2)^2}$$

får han absolutværdien til $\,2\sqrt{2}\,.$ Og ved at indtaste

$$\cos^{-1}\left(\frac 2{2\sqrt{2}}\right)$$

får han argumentet til $\,\displaystyle{\frac {\pi}4}\,.$

Tjek udregningerne. Hvori består den studerendes fejl?

C

Find absolutværdi og hovedargument for følgende komplekse tal:

  1. $-2+2i$.

  2. $\displaystyle{-\frac{1}{6}+\frac{i}{2\sqrt{3}}}\,$.

D

Tre komplekse tal er givet ved deres polære koordinater således:

$$(4,\,-\pi)\,,\,(2,\,\frac{4\pi}{3})\,,\,(6,\,\frac{21\pi}{4})\,.$$

Find tallenes rektangulære form.

Opgave 5: Komplekse tals eksponentielle form

A

Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form:

  1. $\e^{i\frac{\pi}{2}}$

  2. $3\e^{1+\pi i}$

B

Givet tallene $z_0=1+i\sqrt{3}\,$, $z_1=-\sqrt{3}+i\,$, $z_2=-1-i\sqrt{3}\,\,$ og $\,z_3=\sqrt{3}-i\,$.

  1. Angiv de fire tal på eksponentiel form.

  2. Vis at der findes en ligning af formen

$$\,z^4=w\,$$

(en binom ligning) hvori alle fire tal er en løsning.

Opgave 6: Den komplekse eksponentialfunktion

A

Givet $w=1-i\,$.

  1. Bestem $|\,w\,|$ og $\arg(w)\,$.

  2. Bestem $|\,\e^w\,|$ og $\arg(\e^w)\,$.

B
  1. Givet tallene $\,w_1=1\,,\,w_2=\e\,,\,w_3=i\,$ og $\,w_4=2i\,$. Bestem samtlige løsninger for ligningerne
$$\e^z=w_n$$

hvor $\,n=1\,.\,.\,4\,$.

  1. Bestem samtlige løsninger for ligningen
$$(\e^z-1)(\e^z-i)=0\,.$$

C

Vis at $\,\e^z\neq0\,$ for alle $\,z\in\mathbb C\,$.

Opgave 7: Geometrisk addition og multiplikation

A

Hvis du ikke allerede har GeoGebra installeret på din computer, så gør det nu. Se linket til GeoGebra på Dagsordnen for i dag.

Åbn GeoGebra-arket komplekseTal (måske nemmest at højreklikke + gem som). Der er i arket givet fire komplekse tal $\,z_1,\,z_2,\,z_3\,$ og $\,z_4\,.$ Konstruér de følgende komplekse tal

$$\,z_1+z_2\,,\,z_2-z_4\,,\,z_3\cdot z_3\,,\,z_2\cdot z_4\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\frac{z_2}{z_4}\,.$$

Tegn derefter med vektorværkøjet (som ligger i linje-kassen) de fundne komplekse tals stedvektorer. Giv dem evt. en anden farve. Træk til sidst de fem gule labels hen til de tilsvarende tal. NB: Du vælger i denne opgave selv dit ambitionsniveau (eller gå skridtvis frem fra nemmeste til sværeste): Mild: Højreklik på arket og aktivér Gitter. Vælg Lås til gitter i Indstillinger $\rightarrow$ Fang punkt. Find ved hjælp af geometriske betragtninger de ønskede tal og afsæt dem med punkt-værktøjet.\bs Medium: Konstruér de ønskede tal med særlige GeoGebra konstruktionsværktøjer, f.eks. Parallelforskyd med vektor og Spejl i punkt. Hot: Find tallene vha. af ren passer og lineal-konstruktion. Passeren finder du i cirkel-kassen. Lineal-konstuktion udføres med relevante værktøjer i linje-kassen.

Opgave 8: Dobbelte vinkler (advanced)

A

Her er de såkaldte formler for dobbelte vinkler:

$$\sin(2v)=2\sin(v)\cos(v)\,\,\,\mathrm{og} \,\,\,\cos(2v)=(\cos(v))^2-(\sin(v))^2\,.$$

Brug den sidste (sammen med idiotreglen) til at bestemme $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\,$ og $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\,.$

B

Brug det første resultat i A) at finde $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\,,\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\,$ og $\,\sin\left(\frac{3}{8}\pi\right)\,$.

C

Brug tilsvarende det andet resultat i A) til at finde cosinus og sinus til interessante vinkler af form

$$\frac{p\cdot\pi}{12}\,.$$