01005

Opgave 1: Dagens wetware-opgave

Reducér $\,\displaystyle{\frac{2^{-1}\cdot 2^4\cdot (2^3)^{-2}}{2^{-5}}\,\,.}\,$

Opgave 2: Retvinklede trekanter

Vi har defineret cosinus og sinus ved hjælp af enhedscirklen. Genkald dig hvordan. Betragt nu en vilkårlig retvinklet trekant. Vis hvordan vi ved hjælp af den definition kan vise:

Cosinus til en spids vinkel i trekanten er den hosliggende katete divideret med hypotenusen.
Sinus til en spids vinkel i trekanten er den modstående katete divideret med hypotenusen.

En retvinklet trekant har siderne $\,a=1\,$, $b=\sqrt{3}\,$ og $c=2\,.$ Hvad er vinklernes eksakte værdi udtrykt i radianer?

Den vigtige trigonometriske formel

$$\,\cos(v)^2+\sin(v)^2=1\,$$

omtales ofte som idiotreglen. Hvilke matematiske forklaringer kan der være på det lidet flatterende navn?

Opgave 3: Arccos, Arcsin og trigonometriske ligninger

Angiv tallene $\,\displaystyle{\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{2}\right),\,\mathrm{Arcsin}\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\, \mathrm{Arcsin}(1)}\,.$

Der er givet mængderne $\,A=\left\{x\in\reel\,|\,x\in \left[\,0\,,\,2\pi\,\right]\right\}\,$ og $\,B=\left\{x\in\reel\,|\,x\in \left[\,-\pi\,,\,\pi\,\right]\right\}\,.$

Løs ligningen $\,\displaystyle{\cos(x)=\frac{1}{2}}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$

Løs ligningen $\,\displaystyle{\sin(x)=-\frac{\sqrt 3}{2}}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$

Løs ligningen $\,\displaystyle{\mathrm e^{\,i\cdot v}= \frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\,i\,}\,$ inden for mængderne $\,A\,$ og $\,B\,.$

Opgave 4: Regning med potenser

Omskriv de følgende udtryk til tal på formen $\,a^p\,$ hvor $\,a\,$ er et positivt reelt tal og $\,p\in \mathbb Z$:

$$ 3^2\cdot 3^{3}\,,\,\,(5^8)^{-2}\,,\,\,3^2\cdot 3^{-5}\,,\,\,\frac{4^{1.3}}{4^{2.3}} \,,\,\,\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot 6^5 \,,\,\,\frac{5^3}{0.5^3}\,. $$

Opgave 5: Potenser af komplekse tal

Givet $z=1+i\,.$ Bestem absolutværdien og et argument for $z$, og bestem ved hjælp heraf absolutværdi og et argument for tallene

$$z^2\,,z^5\,,z^8\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, z^{-10}\,.$$

Angiv endelig den rektangulære form for

$$z^2\,,z^5\,,z^8\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, z^{-10}\,.$$

Opgave 6: Binome ligninger

Løs de binome ligninger

$${z}^2 = -4\,\,,\,\,{z}^2 = i\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,{z}^2 = 1-i\,.$$

Skitsér løsningerne i den komplekse talplan.

Løs de binome ligninger

$z^3=1$
$z^3=i$
$z^3=1+i$

og skitsér løsningerne i den komplekse talplan.

Opgave 7: Eksponentiel vækst (som lært i gymnasiet)

En mængde har ved tiden $t=0 $ størrelsen $b$ og vokser med $\,20\%\,$ pr. tidsenhed. Bestem tallet $a$ således at funktionsudtrykket

$$\,f(t)=b\cdot a^t\,,\,\,t\in\reel$$

kan betragtes som en model for væksten.

Bestem vækstraten og den procentuelle vækst pr. tidsenhed for de eksponentielt voksende/aftagende funktioner som er givet ved funktionsudtrykkene:

$$f(t)=2^t\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,h(t)=0.5^{\,2-t}\,,\,\,t\in \reel.$$

På figuren er vist grafen for tre eksponentialfunktioner. Angiv deres grundtal, og skriv hver af dem på formen

$$\,x\rightarrow \e^{kx}\,,\,\,x\in \reel$$

hvor $\e$ er grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion og $k$ er et reelt tal.