\\

Opgave 1: Tallet i

I denne opgave får du nogle indledende erfaringer med det komplekse tal i.

A

Hvad er i2, i3, i4, i5, (i)2, (i)3, (i)4 og (i)5?

B

Hvad er realdelen og imaginærdelen af 5i7?

C

Hvad er Re(57i) og Im(57i)?

D

Skriv de komplekse tal 7i5, i(7i5) og i(7i5)i på rektangulær form?

Opgave 2: Den komplekse talplan

A

Betragt de følgende ti tal: 2,0,i,2i,1+2i,1,2+3i,5i,3 og 12i.

Hvilke af dem er komplekse, hvilke er reelle, og hvilke er rent imaginære?

Indtegn de ti tal i den komplekse talplan.

B

Givet tallet z=4+i.

  1. Indtegn de fire tal z,iz,i2z og i3z i den komplekse talplan.
  2. Hvad sker der geometrisk når et tal bliver ganget med i?
  3. Og divideret med i?

Opgave 3: Grundlæggende udregninger

A

Find ved hjælp af elementære udregninger den rektangulære form for de følgende komplekse tal.

  1. (5+i)(1+9i)

  2. i+i2+i3+i4

  3. 11+3i+1(1+3i)2

  4. 1(1+i)4

  5. 5+i22i

  6. 3i4 og i24

B

Givet to reelle tal a og b.

  1. Hvorfor er tallet 1a+ib ikke på rektangulær form?

  2. Udregn Re(1a+ib) og Im(1a+ib).

Opgave 4: Konjugering

A

Vis at ¯¯z=z og at ¯z1z2=¯z1¯z2.

B

Lad z0=a+ib0 være et givet komplekst tal. Hvilket komplekst tal svarer til spejlbilledet af z0 i

  1. nulpunktet

  2. den reelle akse

  3. den imaginære akse

  4. vinkelhalveringslinjen i første og tredje kvadrant?

Angiv facit dels ved a, b og i og dels ved z0, ¯z0 og i.
Indtegn det hele i en figur.

Opgave 5: Absolutværdi

Ved absolutværdien |z| af et komplekst tal z forstås længden af stedvektoren for z i den komplekse talplan.

A

Givet et komplekst tal på rektangulær form z=a+ib. Bestem |z|.

B

Undersøg hvilken geometrisk betydning for to vilkårlige komplekse tal z1 og z2 absolutværdien |z1z2| har. Illustrér med eksempler.

C

En punktmængde i den komplekse talplan er givet ved

{zC||z1|=3}.

Giv en geometrisk beskrivelse af punktmængden.

Opgave 6: Realkriteriet

I den komplekse talplan betragter vi talmængden M={z||z1+2i|3}.

A

Skitsér M.

B

Bestem den delmængde af M som er reel.

Opgave 7: Rationale tals størrelse (advanced)

Vi ser i denne opgave på to rationale tal a=4142 og b=9899

A

Hvilket af de to tal a og b er størst?

B

Find 3 rationale tal som ligger mellem a og b.

C

Hvor mange rationale tal er der mellem a og b?

Opgave 8: Ordning af komplekse tal (advanced)

I de reelle tal har vi den velkendte mindre end ordningsrelation < som for alle a,b og c opfylder:

  1. Kun én af påstandene a<b, b<a eller a=b er sand.

  2. Hvis a<b og b<c så er a<c.

  3. Hvis a<b så er a+c<b+c.

  4. Hvis a<b og 0<c så er ac<bc.

A

Afprøv de fire påstande med nogle eksempler.

B

Vis at ordningsrelationen < fra de reelle tal IKKE kan udvides til at gælde for alle komplekse tal.