\\\\(
\nonumber
\newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$}
\newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}}
\newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}}
\newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace}
\newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}}
\newcommand{\eqnl}{}
\newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}}
\newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}}
\newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}}
\newcommand{\am}{\mathrm{am}}
\newcommand{\gm}{\mathrm{gm}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}
\newcommand{\mU}{\mathbf{U}}
\newcommand{\mA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\mB}{\mathbf{B}}
\newcommand{\mC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\mD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\mE}{\mathbf{E}}
\newcommand{\mF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\mK}{\mathbf{K}}
\newcommand{\mI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\mM}{\mathbf{M}}
\newcommand{\mN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\mT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\mV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\mW}{\mathbf{W}}
\newcommand{\mX}{\mathbf{X}}
\newcommand{\ma}{\mathbf{a}}
\newcommand{\mb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\mc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\md}{\mathbf{d}}
\newcommand{\me}{\mathbf{e}}
\newcommand{\mn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\mr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\mv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\mw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\mx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}}
\newcommand{\my}{\mathbf{y}}
\newcommand{\mz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\reel}{\mathbb{R}}
\newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}}
\newcommand{\mnul}{\mathbf{0}}
\newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)}
\newcommand{\Det}{\operatorname{Det}}
\newcommand{\adj}{\operatorname{adj}}
\newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}}
\newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}}
\newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}}
\newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}}
\newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}}
\newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}}
\newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}}
\newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}}
\newcommand{\IS}{\operatorname{I}}
\newcommand{\IIS}{\operatorname{II}}
\newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}}
\newcommand{\Le}{\operatorname{L}}
\newcommand{\app}{\operatorname{app}}
\newcommand{\M}{\operatorname{M}}
\newcommand{\re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\compl}{\mathbb{C}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\\\\)
Tallet i I denne opgave får du nogle indledende erfaringer med det komplekse tal $\,i\,.$
A
Hvad er $i^2$ , $i^3$ , $i^4$ , $i^5$ , $(-i)^2$ , $(-i)^3$ , $(-i)^4$ og $(-i)^{-5}\,$ ?
B
Hvad er realdelen og imaginærdelen af $-5-i7\,$ ?
Show answer
Realdelen er $-5$ og imaginærdelen er $-7$ .
C
Hvad er Re$(-5-7i)$ og Im$(-5-7i)$ ?
D
Skriv de komplekse tal $\,7i-5\,$ , $\,i(7i-5)\,$ og $\,i(7i-5)i\,$ på rektangulær form?
Show answer
$$-5+7i \, \, , \, \, -7-5i \, \, , \, \, 5-7i$$
Den komplekse talplan
A
Betragt de følgende ti tal: $-2,\,0,\,i,\,2-i,\,1+2i,\,1,\,-2+3i,\,-5i,\,3\,$ og $\,-1-2i\,.$
Hvilke af dem er komplekse, hvilke er reelle, og hvilke er rent imaginære?
Indtegn de ti tal i den komplekse talplan.
B
Givet tallet $z=4+i\,$ .
Indtegn de fire tal $\,z\,,\,iz\,,\,i^2z\,$ og $\,i^3z\,$ i den komplekse talplan.
Hvad sker der geometrisk når et tal bliver ganget med $i\,$ ?
Og divideret med $i\,$ ?
$ $
Grundlæggende udregninger
A
Find ved hjælp af elementære udregninger den rektangulære form for de følgende komplekse tal.
$(5+i)(1+9i)$
$i+i^2+i^3+i^4$
$\displaystyle{\frac{1}{1+3i}+\frac{1}{(1+3i)^2}}$
$\displaystyle{\frac{1}{(1+i)^4}}$
$\displaystyle{\frac{5+i}{2-2i}}$
$\displaystyle{\frac{3i}{4}}\,$ og $\displaystyle{\frac{i2}{4}}$
Show answer
$-4+46i$
$0$
$\frac{1}{50} -\frac{9}{25} i$
$- \frac{1}{4}$
$1+ \frac{3}{2}i$
$\frac{3}{4} i$ og $\frac{1}{2} i$
B
Givet to reelle tal $a$ og $b\,$ .
Hvorfor er tallet $\,\,\displaystyle{\frac{1}{a+ib}}\,\,$ ikke på rektangulær form?
Udregn Re$\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\,$ og Im$\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\,\,$ .
Show answer
Re$\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\, = \frac{a}{a^2+b^2}$ og Im$\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)} = -\frac{b}{a^2+b^2}$
Konjugering
A
Vis at $\,\overline{\overline{z}}=z\,$ og at $\,\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\,.$
B
Lad $z_0=a+ib\neq 0$ være et givet komplekst tal. Hvilket komplekst tal svarer til spejlbilledet af $z_0$ i
nulpunktet
den reelle akse
den imaginære akse
vinkelhalveringslinjen i første og tredje kvadrant?
Angiv facit dels ved $a$ , $b$ og $i$ og dels ved $z_0$ , $\overline{z_0}$ og $i$ .
Show answer
$1)-z_{0},\,\, 2)\,\overline{z_0},\,\,3)-\overline{z_0},\,\,4)\,i\, \overline{z_0}\,.$
Absolutværdi Ved absolutværdien $\,\left|z\right|\,$ af et komplekst tal $z$ forstås længden af stedvektoren for $z$ i den komplekse talplan.
A
Givet et komplekst tal på rektangulær form $\,z=a+ib\,.$ Bestem $\,\left|z\right|\,.$
B
Undersøg hvilken geometrisk betydning for to vilkårlige komplekse tal $\,z_1\,$ og $\,z_2$ absolutværdien $\,\left|z_1-z_2\right|\,$ har. Illustrér med eksempler.
Show answer
Afstanden mellem $z_1$ og $z_2$ .
C
En punktmængde i den komplekse talplan er givet ved
$$\big\{z \in {\Bbb C}\:\big| |z-1|\, = \, 3\big\}\,.$$
Giv en geometrisk beskrivelse af punktmængden.
Show answer
Cirkel i den komplekse talplan, med centrum i $1$ og radius $3$ .
Realkriteriet I den komplekse talplan betragter vi talmængden $\,M=\left\{z\,|\,\,|z-1+2i|\leq 3\,\right\}\,.$
B
Bestem den delmængde af $\,M\,$ som er reel.
Show answer
$M_{\reel}=\left[\,1-\sqrt 5\,,\,1+\sqrt 5\,\right]\,.$
Rationale tals størrelse (advanced) Vi ser i denne opgave på to rationale tal $a=\frac{41}{42}$ og $b=\frac{98}{99}$
A
Hvilket af de to tal $a$ og $b$ er størst?
B
Find 3 rationale tal som ligger mellem $a$ og $b$ .
C
Hvor mange rationale tal er der mellem $a$ og $b$ ?
Ordning af komplekse tal (advanced) I de reelle tal har vi den velkendte mindre end ordningsrelation $\,<\,$ som for alle $\,a,b\,$ og $\,c\,$ opfylder:
Kun én af påstandene $\,a<b,$ $\,b<a$ eller $\,a=b\,$ er sand.
Hvis $\,a<b\,$ og $\,b<c\,$ så er $\,a<c\,.$
Hvis $\,a<b\,$ så er $\,a+c<b+c\,.$
Hvis $\,a<b\,$ og $\,0<c\,$ så er $\,ac<bc\,.$
A
Afprøv de fire påstande med nogle eksempler.
B
Vis at ordningsrelationen $\,<\,$ fra de reelle tal IKKE kan udvides til at gælde for alle komplekse tal.
