Opgave 1: Tallet i
I denne opgave får du nogle indledende erfaringer med det komplekse tal i.
Hvad er i2, i3, i4, i5, (−i)2, (−i)3, (−i)4 og (−i)−5?
Hvad er realdelen og imaginærdelen af −5−i7?
Hvad er Re(−5−7i) og Im(−5−7i)?
Skriv de komplekse tal 7i−5, i(7i−5) og i(7i−5)i på rektangulær form?
Opgave 2: Den komplekse talplan
Betragt de følgende ti tal: −2,0,i,2−i,1+2i,1,−2+3i,−5i,3 og −1−2i.
Hvilke af dem er komplekse, hvilke er reelle, og hvilke er rent imaginære?
Indtegn de ti tal i den komplekse talplan.
Givet tallet z=4+i.
- Indtegn de fire tal z,iz,i2z og i3z i den komplekse talplan.
- Hvad sker der geometrisk når et tal bliver ganget med i?
- Og divideret med i?
Opgave 3: Grundlæggende udregninger
Find ved hjælp af elementære udregninger den rektangulære form for de følgende komplekse tal.
-
(5+i)(1+9i)
-
i+i2+i3+i4
-
11+3i+1(1+3i)2
-
1(1+i)4
-
5+i2−2i
-
3i4 og i24
Givet to reelle tal a og b.
-
Hvorfor er tallet 1a+ib ikke på rektangulær form?
-
Udregn Re(1a+ib) og Im(1a+ib).
Opgave 4: Konjugering
Vis at ¯¯z=z og at ¯z1⋅z2=¯z1⋅¯z2.
Lad z0=a+ib≠0 være et givet komplekst tal. Hvilket komplekst tal svarer til spejlbilledet af z0 i
-
nulpunktet
-
den reelle akse
-
den imaginære akse
-
vinkelhalveringslinjen i første og tredje kvadrant?
Angiv facit dels ved a, b og i og dels ved z0, ¯z0 og i.
Indtegn det hele i en figur.
Opgave 5: Absolutværdi
Ved absolutværdien |z| af et komplekst tal z forstås længden af stedvektoren for z i den komplekse talplan.
Givet et komplekst tal på rektangulær form z=a+ib. Bestem |z|.
Undersøg hvilken geometrisk betydning for to vilkårlige komplekse tal z1 og z2 absolutværdien |z1−z2| har. Illustrér med eksempler.
En punktmængde i den komplekse talplan er givet ved
Giv en geometrisk beskrivelse af punktmængden.
Opgave 6: Realkriteriet
I den komplekse talplan betragter vi talmængden M={z||z−1+2i|≤3}.
Skitsér M.
Bestem den delmængde af M som er reel.
Opgave 7: Rationale tals størrelse (advanced)
Vi ser i denne opgave på to rationale tal a=4142 og b=9899
Hvilket af de to tal a og b er størst?
Find 3 rationale tal som ligger mellem a og b.
Hvor mange rationale tal er der mellem a og b?
Opgave 8: Ordning af komplekse tal (advanced)
I de reelle tal har vi den velkendte mindre end ordningsrelation < som for alle a,b og c opfylder:
-
Kun én af påstandene a<b, b<a eller a=b er sand.
-
Hvis a<b og b<c så er a<c.
-
Hvis a<b så er a+c<b+c.
-
Hvis a<b og 0<c så er ac<bc.
Afprøv de fire påstande med nogle eksempler.
Vis at ordningsrelationen < fra de reelle tal IKKE kan udvides til at gælde for alle komplekse tal.