01005

$\nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\$

Opgave 1: Tallet i

I denne opgave får du nogle indledende erfaringer med det komplekse tal $\,i\,.$

Hvad er $i^2$ , $i^3$ , $i^4$ , $i^5$ , $(-i)^2$ , $(-i)^3$ , $(-i)^4$ og $(-i)^{-5}\,$ ?

Hvad er realdelen og imaginærdelen af $-5-i7\,$ ?

Hvad er Re $(-5-7i)$ og Im $(-5-7i)$ ?

Skriv de komplekse tal $\,7i-5\,$ , $\,i(7i-5)\,$ og $\,i(7i-5)i\,$ på rektangulær form?

Opgave 2: Den komplekse talplan

Betragt de følgende ti tal: $-2,\,0,\,i,\,2-i,\,1+2i,\,1,\,-2+3i,\,-5i,\,3\,$ og $\,-1-2i\,.$

Hvilke af dem er komplekse, hvilke er reelle, og hvilke er rent imaginære?

Indtegn de ti tal i den komplekse talplan.

Givet tallet $z=4+i\,$ .

Indtegn de fire tal $\,z\,,\,iz\,,\,i^2z\,$ og $\,i^3z\,$ i den komplekse talplan.
Hvad sker der geometrisk når et tal bliver ganget med $i\,$ ?
Og divideret med $i\,$ ?

Opgave 3: Grundlæggende udregninger

Find ved hjælp af elementære udregninger den rektangulære form for de følgende komplekse tal.

$(5+i)(1+9i)$
$i+i^2+i^3+i^4$
$\displaystyle{\frac{1}{1+3i}+\frac{1}{(1+3i)^2}}$
$\displaystyle{\frac{1}{(1+i)^4}}$
$\displaystyle{\frac{5+i}{2-2i}}$
$\displaystyle{\frac{3i}{4}}\,$ og $\displaystyle{\frac{i2}{4}}$

Givet to reelle tal $a$ og $b\,$ .

Hvorfor er tallet $\,\,\displaystyle{\frac{1}{a+ib}}\,\,$ ikke på rektangulær form?
Udregn Re $\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\,$ og Im $\displaystyle{\left(\frac{1}{a+ib}\right)}\,\,$ .

Opgave 4: Konjugering

Vis at $\,\overline{\overline{z}}=z\,$ og at $\,\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\,.$

Lad $z_0=a+ib\neq 0$ være et givet komplekst tal. Hvilket komplekst tal svarer til spejlbilledet af $z_0$ i

nulpunktet
den reelle akse
den imaginære akse
vinkelhalveringslinjen i første og tredje kvadrant?

Angiv facit dels ved $a$ , $b$ og $i$ og dels ved $z_0$ , $\overline{z_0}$ og $i$ .
Indtegn det hele i en figur.

Opgave 5: Absolutværdi

Ved absolutværdien $\,\left|z\right|\,$ af et komplekst tal $z$ forstås længden af stedvektoren for $z$ i den komplekse talplan.

Givet et komplekst tal på rektangulær form $\,z=a+ib\,.$ Bestem $\,\left|z\right|\,.$

Undersøg hvilken geometrisk betydning for to vilkårlige komplekse tal $\,z_1\,$ og $\,z_2$ absolutværdien $\,\left|z_1-z_2\right|\,$ har. Illustrér med eksempler.

En punktmængde i den komplekse talplan er givet ved

$\big\{z \in {\Bbb C}\:\big| |z-1|\, = \, 3\big\}\,.$

Giv en geometrisk beskrivelse af punktmængden.

Opgave 6: Realkriteriet

I den komplekse talplan betragter vi talmængden $\,M=\left\{z\,|\,\,|z-1+2i|\leq 3\,\right\}\,.$

Skitsér $\,M\,.$

Bestem den delmængde af $\,M\,$ som er reel.

Opgave 7: Rationale tals størrelse (advanced)

Vi ser i denne opgave på to rationale tal $a=\frac{41}{42}$ og $b=\frac{98}{99}$

Hvilket af de to tal $a$ og $b$ er størst?

Find 3 rationale tal som ligger mellem $a$ og $b$ .

Hvor mange rationale tal er der mellem $a$ og $b$ ?

Opgave 8: Ordning af komplekse tal (advanced)

I de reelle tal har vi den velkendte mindre end ordningsrelation $\,<\,$ som for alle $\,a,b\,$ og $\,c\,$ opfylder:

Kun én af påstandene $\,a<b,$ $\,b<a$ eller $\,a=b\,$ er sand.
Hvis $\,a<b\,$ og $\,b<c\,$ så er $\,a<c\,.$
Hvis $\,a<b\,$ så er $\,a+c<b+c\,.$
Hvis $\,a<b\,$ og $\,0<c\,$ så er $\,ac<bc\,.$

Afprøv de fire påstande med nogle eksempler.

Vis at ordningsrelationen $\,<\,$ fra de reelle tal IKKE kan udvides til at gælde for alle komplekse tal.